各位老師好：
最近在練習題目時有幾題題目想了很久，有想法，但都還是無法完全做出來。
題目如附加檔案。(不好意思，不太會用直接在網站上敲數學式子 ><)
第2題我證明出來最後差個負號，整理不出來。
第4題想使用錯排原理去解題，但是答案相去甚遠。但又不知道錯排這個方法盲點在哪。

請各位老師有空時不吝賜教，謝謝各位老師。

1.三角形ABC，∠A的內角平分線\( \overline{AT} \)交\( \overline{BC} \)於T點，試證\( \overline{AT}=\sqrt{\overline{AB}\cdot \overline{AC}-\overline{BT}\cdot \overline{CT}} \)[98新港藝術高中]

2.\( a>b \)，試證：雙曲線\( b^2 x^2-a^2 y^2=a^2 b^2 \)互相垂直的二切線的交點必在圓\( x^2+y^2=a^2-b^2 \)
[98新港藝術高中]

3.有兩射線\( \overline{OX} \)，\( \overline{OY} \)夾角\( 60^o \)，P為∠XOY內部一點，\( \overline{OP}=10 \)，今欲在\( \overline{OX} \)上取一點A，\( \overline{OY} \)上取一點B，使△PAB之周長最小，若△PAB之最小周長為t，則(A)\( 16<t<17 \)　(B)\( 17<t<18 \)　(C)\( 18<t<19 \)　(D)\( 19<t<20 \)
[98全國聯招]

4.將5個A，5個B，5個C，共15個字母排成一列，使得前5個位置不排A，中間5個位置不排B，最後五個位置不排C，排法有幾種

5.柔道擂台賽，比賽過程是：甲、乙二隊各出7名隊員按事先安排的順序出場比賽，雙方先由1號隊員出賽，負者遭淘汰；負方再派2號出場迎戰勝方的1號，L以此類推，直至一方7名隊員全被淘汰為止，另一方獲勝。所有可能出現的比賽過程的個數為[93學年度高中數學能力競賽中區(嘉義高中)　筆試(二)試題]

第一題：利用內分比性質，加上餘弦定理，就可以證明出來了。

　　　　善用餘弦定理，其實也可以證個較廣義的 Stewart's theorem，如下

　　　　對於 \(\triangle ABC\)，\(\overline{BC}\) 上任取一點 \(T\)，

　　　　可以證明：\(\displaystyle \overline{AT}^2=\frac{\overline{AC}^2\overline{BT}+\overline{AB}^2\overline{CT}}{\overline{BT}+\overline{CT}}-\overline{BT}\times \overline{CT}.\)




第二題：方法同 https://math.pro/db/thread-723-1-2.html



第三題：將 \(P\) 對稱 \(\overrightarrow{OX}\)、\(\overrightarrow{OY}\) 分別得 \(P_1, P_2\)，

　　　　則 \(t= \overline{P_1P_2}\) 且 \(\angle P_1OP_2=120^\circ\)，

　　　　利用餘弦定理，可得 \(t^2=10^2+10^2-2\times10\times10\cos120^\circ \Rightarrow t=10\sqrt{3}.\)



第四題：https://math.pro/db/thread-454-1-3.html



第五題：h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=15133　連結已失效