感謝鋼琴老師
(2)計算錯誤
(3)頭昏了，想得太快

想請問如何求得除以(x^3-1)^2的餘式?

我只會愚蠢的
令f(x)=(x^2+x+1)q(x)+r(x)
因(x^2+x+1)f(x)除以(x^2+x+1)必定整除，故求商得
f(x)=2(  (sum_k=0^99  (x^3-x^2)x^3k)  +1)+(sum_k=0^32  (x^2-x)x^3k)+(sum_k=0^19  (x^2-x)x^3k)
同乘(x-1)得(x-1)f(x)=(x^3-1)q(x)+(x-1)r(x)
以x^3=1帶入(x-1)f(x)降階得(x-1)(2( 100-100x^2+1)+33(x^2-x)+20(x^2-x))=(x-1)r(x)
=>r(x)=-147x^2-53x+202
再r(x)除以(x^2+x+1)得94x+349

以下方法為突發奇想
是不是都能這樣做不知道XD

令y=x3
定義H(y)=2x2y100+xy33+xy20+2
找H(y)除以(y−1)2的餘式
利用泰勒展開式：(200x2+53x)(y−1)+2(x2+x+1)
還原回去展開就可以得到200x5+53x4−198x2−51x+2

[ 本帖最後由 satsuki931000 於 2025-3-9 14:35 編輯 ]

感謝分享，看起來挺神奇的
我個人感覺要做微分的話，似乎x不能當作常數看待
可是算出來的答案卻是對的，可能得請其他老師解說緣由

填充6

計算第 1 題
請問答案是 4 嗎？

化簡log(2sin(2))−2log(cos)=5−tan
得log(tan)=5−tan
令x=tan
原式：logx=5−x
又y＝5−x與y＝logx有三個交點A(a5−a)、B(b5−b)、C(c5−c)
tan＝a、tan＝b、tan＝c在0到2各有2個解
因此共有6個解。

若有錯誤，再請指正。

[ 本帖最後由 Jimmy92888 於 2025-3-10 07:41 編輯 ]

10.
x、y為任意實數，定義：f(xy)=(2x−2)2+(2y−4)2+(2x−y+9)2+(2x+2)2+(2y+6)2+(2x−y+11)2 求f(xy)的最小值　　　。
我的教甄準備之路　兩根號的極值問題，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid22174

微分的想法很棒，幫你補上過程
2x302+x100+x61+2=(x2+x+1)f(x)=(x2+x+1)[(x2+x+1)Q(x)+(Ax+B)]
=(x2+x+1)2Q(x)+(x2+x+1)(Ax+B)
微分
604x301+100x99+61x60=2(x2+x+1)(2x+1)Q(x)+(x2+x+1)2Q(x)+(2x+1)(Ax+B)+(x2+x+1)A
由廣義餘式定理，代入x3=1：
604x+161=(−A+2B)x+(B−2A) (右邊是長除法的結果)
比較係數即可得A=94B=349

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2025-3-10 08:54 編輯 ]

填充9，想詢問各位老師，答案是否有誤