想請教一下第8題，謝謝

L2上找一點H，使得向量PH垂直L2的方向向量
利用內積等於0的關係
可以解出以t表示的線段PH平方值，此為正三角形高的平方
再利用正三角形面積是1／√3倍 高的平方
便可以寫出以t表示的正三角形面積

謝謝老師，我寫出來了!

想請教一下第10題的想法，這樣想不知道對不對?

設ΔB1A1O面積=x
然後把sin2θ和cos2θ用x表示
再利用ΔB2A2O面積=120解出x=156

應該還有一解 65

謝謝鋼琴老師，我知道我漏掉哪邊了

第10題 先國中解法算出B2A2O的底跟高，再用三角函數定義及sin兩倍角求B1A1O面積。
設B2O=a、A2O=b，由題意可得a2+b2=676、ab=240，將a=b240代入第一式可推得b4−676b2+2402=0
即(b2−100)(b2−576)=0，故 b=10 or 24。

設B1A1O= ，則B2A2O=2 ，因B2A2O的(底,高)可能為(10,24) 及(24,10)，
故sin2=2610或2624。

綜上，因為 B1A1O=21B1OA1O=0526cos26sin=169sin2，故所求面積可能為156或65。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-2 09:58 編輯 ]

這解法實在漂亮，不過蠻跳的，要花點文字解釋不然很難讀懂，以下提供一個比較直觀的解法。
策略是要列遞迴式，作成轉移矩陣後觀察前幾項應該會發現規律，就可以寫答案了，有時間可以再用數學歸納法證明。
設pn為Sn除以3餘1的機率，qn為Sn除以3餘2的機率，rn為Sn除以3餘0的機率。易知p1=73、q1=72、r1=72。

設Xn=pnqnrn    ，由題意可得Xn=pnqnrn  =72737272727373  7272  pn−1qn−1rn−1  ，X1=737272

小心計算後，可得

X1=737272、X2=491649174916、X3=343114343114343115、X4=801240180024018002401、X5=560216807560316807560216807

應該可以發現規律，Xn的三個元幾乎是平均的，且當n=147 時 pn的分子是37n+2 ，當n=235689 時 pn的分子是37n−1。因此，

pn=37n7n+2當n=1471037n7n−1  當n=235689 

後記：這題也可以由對角化的或是eigenvalues(特徵值)求一般項，但計算量頗大，eigenvalues還有複數，勇者可嘗試看看。考試時遇到類似題但沒有想法，建議還是先觀察前幾項，不要直接暴力解。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-6-2 10:44 編輯 ]

填充16. 8# 的作法，有兩部分，一部分是機率和多項式係數的對應。
(我想，你問的應該都不是這個)

另一部分是係數和的部分，這部分大家比較熟悉的是：對任意多項式 f(x)，
f(1) 是各項係數和、2f(1)+f(−1) 是偶數次方項(含常數項)的係數和、2f(1)−f(−1) 是奇數次方項係數和。

再來則是 f(i) 的實部、虛部，會是每隔兩項的係數正負(加減)交錯的和。
跟偶數項係數和、奇數項係數和再組合起來就會得隔四項的係數和。
把取實數、虛部的部分用共軛複數的加減表示，可以得到
\frac{f(1)+f(-1)+f(i)+f(-i)}{4} 為常數項、 x^{4}, x^{8}, x^{12},\ldots 的係數和。
而從 x 或 x^2 或 x^3 開始的每 4 項的係數和也有類似的表示。

把上面的經驗，移到隔三項的情況，不難發現
令 \omega=\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}
則有 \frac{f(1)+f(\omega)+f(\omega^{2})}{3} 為常數項、 x^3, x^6, x^9, \ldots 的係數和

再來只要取 g(x) = x^2f(x) ，對 g(x) 這個多項式使用上面的公式，就會得到 #8 的列式。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2024-6-16 19:42 編輯 ]

謝謝燕子老師與寸絲老師