第16題好漂亮的解法

謝謝鋼琴老師

請教第三題最大值怎麼求？

(解一)
由x+y+z=3可得  x+y=3−z，是故目標函數可改寫為  x+y−2z=3−3z，因此專注在z的最大最小值上。
再來就老梗了，移項->柯西不等式->多項式不等式。
由  x+y=3−z、x2+y2=9−z2可得  (x2+y2)(12+12)(x+y)2，因此  (9−z2)(2)(3−z)2
化簡得 0z2−2z−3，即  0(z+1)(z−3)，故z的最大值為3，最小值-1，因此所求最大值為6，最小值為-6

(解二) Lagrange multiplier
定義

  f=(xfyfzf)

。
設  f(xyz)=x+y+z−3、g(xyz)=x2+y2+z2−9、h(xyz)=x+y−2z。因為h函數的極值會發生在邊界上，所以我們會有h=f+g
可以得到

    +2x=1  +2y=1  +2z=−2  

三式相加再搭配邊界條件x+y+z=3，可得0=3+2(x+y+z)，即  =−2，是故

x=−1、y=−1、z=+2

代入另一個邊界條件x2+y2+z2=9，(計算過程懶得打了)，可得=1or−1。
當 =1 時x=0y=0z=3，目標函數有最小值 h(003)=−6。
當 =−1 時x=2y=2z=−1，目標函數有最大值 h(22−1)=6。

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2024-5-28 22:48 編輯 ]

第 3 題
y = 3 - x - z
x^2 + (3 - x - z)^2 + z^2 = 9
x^2 + (z - 3)x + (z^2 - 3z) = 0
(z - 3)^2 - 4(z^2 - 3z) ≧ 0
-1 ≦ z ≦ 3

-6 ≦ x + y - 2z = 3 - 3z ≦ 6

[ 本帖最後由 thepiano 於 2024-5-28 22:19 編輯 ]

謝謝兩位老師解惑
我原本的作法是球與平面的的交圓上找z最大、最小值。其中找最小值時計算卡住，我再試試看此法解下去能否成功。(
(更新)
其實計算很簡單，三頂點A(3,0,0) B(0,3,0) C(0,0,3) 重心G(1,1,1)   z最小值出現在P(2,2,-1)    ( G為AP中點  )

[ 本帖最後由 jerryborg123 於 2024-5-28 23:15 編輯 ]

我是建議考雄聯這種計算題不要用拉格朗日算子
超出高中範圍解法,不知道會不會給分?
而且殺雞焉用牛刀

你的做法有點像線性規劃的平行線法，極值會出現在邊界上。
不過在空間裡面，可能要有十足的想像力才有辦法解出了，而且還要想怎麼在答案卷上呈現，
迫於時間壓力不大可能選這條路。

回橢圓大大，我只是想多列幾種方法供大家欣賞，考試時通常時間緊迫，能解出來的都是好方法。
至於會不會給分？真是好問題，我也不知道，哈哈哈...
但是就我寫過的考古題，蠻常出現微積分或線性代數的。

引用:

原帖由 jerryborg123 於 2024-5-28 22:30 發表
謝謝兩位老師解惑
我原本的作法是球與平面的的交圓上找z最大、最小值。其中找最小值時計算卡住，我再試試看此法解下去能否成功。(
(更新)
其實計算很簡單，三頂點A(3,0,0) B(0,3,0) C(0,0,3) 重心G(1,1,1)   z最小值出現 ...

若要用交圓方式來做,可以這樣處理:
x+y+z=3 ,x²+y²+z²=9 的交圓方程式為(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²=6
由柯西不等式得
[(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²][1²+1²+(-2)²]≧ (x-1+y-1-2z+2)²
6*6≧(x+y-2z)²  ,6≧(x+y-2z)≧-6
(M,m)=(6,-6)

註:這題圓盤(x-1)²+(y-1)²+(z-1)²=6 法向量(1,1,1), 跟平面x+y-2z=k的法向量(1,1,-2) 互相垂直
所以圓盤垂直在平面x+y-2z=k上,否則就不能用這樣去解

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2024-5-29 08:50 編輯 ]

可以請問在求x^3k+1係數合那邊的算式，是如何列出來的呢？