引用:

原帖由 CYC 於 2023-4-24 14:59 發表
請問填充第七題

設 \(g(x)=f(x)\cdot (x+1)\)　，在 \(x>0\) 的情況下，我們所要找的就是\(g(x)>k\)恆成立
　
想法是那就找g(x)的最小值。利用導數為0去找。

而解 \(g'(x)=0\) ， 即是解 \(x^2-x\ln (x+1)-\ln (x+1)-1=0\) ，

而不難看出 \(x=-1\) 是個看起來可用的解，但實際上卻不能用，不過可以靠他幫我們因式分解，即得到

解 \((x+1)(x-1-\ln (x+1))=0\)  推得導數為0之處，會有 \(x-1=\ln (x+1)\) ，

接著畫圖找兩圖形 \(y=x-1\text{ and }y=\ln (x+1)\) 的交點，可得到兩點， 取x座標為正的那點，設其x座標為 \(a\)

由圖形也不難推得，\(g'(x)\) 在 \(x=a\) 附近是由負轉正，故 \(g(x)\) 在 \(x=a\) 有最小值。

代x=a 到g(x)中，記得利用 \(a-1=\ln (a+1)\)  ，即可得到 \(g(a)=a+1\)　

而比較 \(x-1\text{ and }\ln (x+1)\) ， 可得\(2-1=1<\ln(2+1)\text{ and }3-1=2>\ln(3+1)\)，故a介於2~3之間

故g(x)在x>0的最小值介於2+1~3+1之間，取k=3

謝謝老師回覆

感謝鋼琴老師和寸絲老師回覆第12題

感覺上這類題目 mod 同餘 是很好用的武器。

鋼琴老師的方法雖然看起來也分很多分支，但是 d=0 , d=6 同餘，　d=2,d=8同餘
就已經比我原本的分支省掉非常多計算步驟了

寸絲老師的方法去看b+c模6的分類，也真的是很漂亮的觀察，而且看起來就更簡潔了

謝謝兩位老師

==以下為我的方法==
2000以上的窮舉就好，只有2004和2022

因為是6的倍數，故個位數字必定是偶數，
接下來以各位數之和去分類，然後固定住千位數字和個位數字去計算：

總和為6：
0 _ _ 0 ：7種、　0 _ _ 2 ：5種、　0 _ _ 4 ：3種、　0 _ _ 6 ：1種　；
1 _ _ 0 ：6種、　1 _ _ 2 ：4種、　1 _ _ 4 ：2種　。
共28種

總和為12：
0 _ _ 0 ：7種、　0 _ _ 2 ：9種、　0 _ _ 4 ：9種、　0 _ _ 6 ：7種、　0 _ _ 8 ：5種　；　
1 _ _ 0 ：8種、　1 _ _ 2 ：10種、　1 _ _ 4 ：8種、　1 _ _ 6 ：6種、　1 _ _ 8 ：4種　。　
共73種


總和為18：
0 _ _ 0 ：1種、　0 _ _ 2 ：3種、　0 _ _ 4 ：5種、　0 _ _ 6 ：7種、　0 _ _ 8 ：9種　；　
1 _ _ 0 ：2種、　1 _ _ 2 ：4種、　1 _ _ 4 ：6種、　1 _ _ 6 ：8種、　1 _ _ 8 ：10種　。　
共55種


總和為24： 各數字不能在4以下
0 _ _ 6 ：1種、　0 _ _ 8 ：3種　；　
1 _ _ 6 ：2種、　1 _ _ 8 ：4種　。　
共10種

故共有28+73+55+10+2=168種

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-4-25 12:31 編輯 ]

這次桃園只有一個IB缺，缺就是主辦單位的缺，所以可能不想考太難。

第8題是課內的，一般情況用正弦加餘弦即可。
這題更快，用5,12,13與12, 16, 20的直角三角形拼起來，可知三角形面積為\(126\)
所以外接圓半徑為\(\frac{20\times21\times13}{4\times126}=\frac{65}6\)

第9題, 老題目了，

螢幕擷取畫面 2023-04-25 145843.png (29.04 KB)

2023-4-25 14:59

第10題，先分甲乙，再分丙丁，\(C^7_4\times H^4_3=700\)

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-4-25 16:51 編輯 ]

三位數以內的\(H^1_6+H^2_6+H^3_6=36\)種
四位數的，第一位數為1的情況\(H^3_6=28\)種
第一位數為2的，2005, 2014, 2023三種
加起來為67。

第12題，我一開做的時候，基本上和鋼琴老師的過程一樣
但想到先前提問時，說分了 31 組，我就不想繼續分類。
然後花了一些時間，才有反過來，用 \( b+c \) 來分類的作法

再看一下，重新改寫成生成函數的寫法

將四位數 abcd 與 \( x^a \cdot x^b \cdot x^c \cdot x^d \) 的形式對應

因此小於 2000的非負整數情況，可以用生成函數
\( f(x) = (1+x)(1+x+^2+\ldots+x^9)(1+x+x^2+\ldots+x^9)(1+x^2+x^4+x^6+x^8) \)
的展開式中，係數表示 \( a+b+c+d \) 之和為冪次的情況數

\( f(x) = (1+x+^2+\ldots+x^9)^3 \)
令 \( \omega = \cos 60^\circ + i \sin 60^\circ \)
則所求為 \( \displaystyle \frac16 \left( f(1) + f(\omega) + f(\omega^2) + f(\omega^3) + f(\omega^4) + f(\omega^5) \right) -1 +2 \)
其中，減 1 為 0000 不合，加 2 為 2004、2022

所求 \( = \displaystyle \frac16 \left( 10^3 + (\omega+\omega^2)^3 + 1^3 + 0 + 1^3 + (\omega^4+\omega^5)^3 \right) + 1\)
\( = \displaystyle \frac16 \left( 1000 + 1 + 1 \right) + 1 = 168\)
其中 \( \omega^4+\omega^5 = -(\omega+\omega^2) \)，因此 \( (\omega^4+\omega^5)^3 + (\omega+\omega^2)^3 =0 \)

超過1999的話，數字和驟減，不好控制。
所以，我們先看小於等於1999的。跟7樓鋼琴老師一樣。
1999以前6的倍數，依下面的方式分成167組，
{0000,1998},{0006,1992},{0012,1986},…{0996,1002}
上面每一組中的8個數字和皆為27，為奇數。
每組中的兩個數，數字和皆為3的倍數，又數字和為一奇一偶，偶數的那個數，即為數字和為6的倍數。
也就是說167組中，每組恰有一個是我們要的，另一個不是。所以共167個數，但第一組{0000,1998}中0000不是正整數，所以是166個。

超過2000的，一一驗算，只有2004與2022符合所求，
所以答案是166+2=168個。

奇數位和與偶數位和的差最大為(4+5+6+7)-(1+2+3)=16，兩者的差只有可能是-11, 0, 11
但由於1+...+7=28，所以兩者的差必為偶數，也就是只有0的可能。
所以奇數位和=偶數位和=14
只有167,257,347,356這四種情況，
所以方法數為\(4\times 3!\times4!=576\)種

請教填充2、6，謝謝～

想請教第4、5題，謝謝