引用:

原帖由 CYC 於 2023-4-24 14:59 發表
請問填充第七題

設 g(x)=f(x)(x+1)　，在 x0 的情況下，我們所要找的就是g(x)k恆成立
　
想法是那就找g(x)的最小值。利用導數為0去找。

而解 g(x)=0 ， 即是解 x2−xln(x+1)−ln(x+1)−1=0 ，

而不難看出 x=−1 是個看起來可用的解，但實際上卻不能用，不過可以靠他幫我們因式分解，即得到

解 (x+1)(x−1−ln(x+1))=0  推得導數為0之處，會有 x−1=ln(x+1) ，

接著畫圖找兩圖形 y=x−1 and y=ln(x+1) 的交點，可得到兩點， 取x座標為正的那點，設其x座標為 a

由圖形也不難推得，g(x) 在 x=a 附近是由負轉正，故 g(x) 在 x=a 有最小值。

代x=a 到g(x)中，記得利用 a−1=ln(a+1)  ，即可得到 g(a)=a+1　

而比較 x−1 and ln(x+1) ， 可得2−1=1ln(2+1) and 3−1=2ln(3+1)，故a介於2~3之間

故g(x)在x>0的最小值介於2+1~3+1之間，取k=3

謝謝老師回覆

感謝鋼琴老師和寸絲老師回覆第12題

感覺上這類題目 mod 同餘 是很好用的武器。

鋼琴老師的方法雖然看起來也分很多分支，但是 d=0 , d=6 同餘，　d=2,d=8同餘
就已經比我原本的分支省掉非常多計算步驟了

寸絲老師的方法去看b+c模6的分類，也真的是很漂亮的觀察，而且看起來就更簡潔了

謝謝兩位老師

==以下為我的方法==
2000以上的窮舉就好，只有2004和2022

因為是6的倍數，故個位數字必定是偶數，
接下來以各位數之和去分類，然後固定住千位數字和個位數字去計算：

總和為6：
0 _ _ 0 ：7種、　0 _ _ 2 ：5種、　0 _ _ 4 ：3種、　0 _ _ 6 ：1種　；
1 _ _ 0 ：6種、　1 _ _ 2 ：4種、　1 _ _ 4 ：2種　。
共28種

總和為12：
0 _ _ 0 ：7種、　0 _ _ 2 ：9種、　0 _ _ 4 ：9種、　0 _ _ 6 ：7種、　0 _ _ 8 ：5種　；　
1 _ _ 0 ：8種、　1 _ _ 2 ：10種、　1 _ _ 4 ：8種、　1 _ _ 6 ：6種、　1 _ _ 8 ：4種　。　
共73種


總和為18：
0 _ _ 0 ：1種、　0 _ _ 2 ：3種、　0 _ _ 4 ：5種、　0 _ _ 6 ：7種、　0 _ _ 8 ：9種　；　
1 _ _ 0 ：2種、　1 _ _ 2 ：4種、　1 _ _ 4 ：6種、　1 _ _ 6 ：8種、　1 _ _ 8 ：10種　。　
共55種


總和為24： 各數字不能在4以下
0 _ _ 6 ：1種、　0 _ _ 8 ：3種　；　
1 _ _ 6 ：2種、　1 _ _ 8 ：4種　。　
共10種

故共有28+73+55+10+2=168種

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-4-25 12:31 編輯 ]

這次桃園只有一個IB缺，缺就是主辦單位的缺，所以可能不想考太難。

第8題是課內的，一般情況用正弦加餘弦即可。
這題更快，用5,12,13與12, 16, 20的直角三角形拼起來，可知三角形面積為126
所以外接圓半徑為4126202113=665

第9題, 老題目了，

螢幕擷取畫面 2023-04-25 145843.png (29.04 KB)

2023-4-25 14:59

第10題，先分甲乙，再分丙丁，C47H34=700

[ 本帖最後由 DavidGuo 於 2023-4-25 16:51 編輯 ]

三位數以內的H61+H62+H63=36種
四位數的，第一位數為1的情況H63=28種
第一位數為2的，2005, 2014, 2023三種
加起來為67。

第12題，我一開做的時候，基本上和鋼琴老師的過程一樣
但想到先前提問時，說分了 31 組，我就不想繼續分類。
然後花了一些時間，才有反過來，用 b+c 來分類的作法

再看一下，重新改寫成生成函數的寫法

將四位數 abcd 與 xaxbxcxd 的形式對應

因此小於 2000的非負整數情況，可以用生成函數
f(x)=(1+x)(1+x+2++x9)(1+x+x2++x9)(1+x2+x4+x6+x8)
的展開式中，係數表示 a+b+c+d 之和為冪次的情況數

f(x)=(1+x+2++x9)3
令 =cos60+isin60
則所求為 61f(1)+f()+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)−1+2 
其中，減 1 為 0000 不合，加 2 為 2004、2022

所求 =61103+(+2)3+13+0+13+(4+5)3+1 
=611000+1+1+1=168 
其中 \omega^4+\omega^5 = -(\omega+\omega^2) ，因此 (\omega^4+\omega^5)^3 + (\omega+\omega^2)^3 =0

超過1999的話，數字和驟減，不好控制。
所以，我們先看小於等於1999的。跟7樓鋼琴老師一樣。
1999以前6的倍數，依下面的方式分成167組，
{0000,1998},{0006,1992},{0012,1986},…{0996,1002}
上面每一組中的8個數字和皆為27，為奇數。
每組中的兩個數，數字和皆為3的倍數，又數字和為一奇一偶，偶數的那個數，即為數字和為6的倍數。
也就是說167組中，每組恰有一個是我們要的，另一個不是。所以共167個數，但第一組{0000,1998}中0000不是正整數，所以是166個。

超過2000的，一一驗算，只有2004與2022符合所求，
所以答案是166+2=168個。

奇數位和與偶數位和的差最大為(4+5+6+7)-(1+2+3)=16，兩者的差只有可能是-11, 0, 11
但由於1+...+7=28，所以兩者的差必為偶數，也就是只有0的可能。
所以奇數位和=偶數位和=14
只有167,257,347,356這四種情況，
所以方法數為4\times 3!\times4!=576種

請教填充2、6，謝謝～

想請教第4、5題，謝謝