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112桃園聯招

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桃聯08.數學科-公告試題.pdf (207.33 KB)

2023-4-22 21:32, 下載次數: 1781

桃聯08.數學科-參考解答.pdf (132.09 KB)

2023-4-22 21:32, 下載次數: 1513

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11題答案

第11題答案應改為67

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9.
一正方形\(ABCD\),在正方形內一點\(P\)。已知\(\overline{PA}=1\),\(\overline{PB}=12\),\(\overline{PC}=17\),試求正方形面積。

已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點,若\( \overline{AP}=7 \),\( \overline{BP}=5 \),\( \overline{CP}=1 \),試求正方形\(ABCD\)的面積。
(100彰化藝術高中,田中高中,連結有解答https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1152&page=4#pid4973)

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引用:
原帖由 bugmens 於 2023-4-23 19:34 發表
9.
一正方形\(ABCD\),在正方形內一點\(P\)。已知\(\overline{PA}=1\),\(\overline{PB}=12\),\(\overline{PC}=17\),試求正方形面積。

已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點,若\( \overline{AP}=7 \),\( \overline{BP}=5 \) ...
這題目至少20年前教甄就考過了....

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請問填充第七題

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想問填充12

目前思路是分成好幾組,總和為6,12,18,24,然後往下分成千位數字是0,1,再分支成結尾為0,2,4,6,8

不算太難算,因為各組的結果數都在10以下,

但是就是要分成好幾組,我這樣分了31組,最後雖然答案正確,但覺得在考場上分成31組還要再相加,依我的狀況很有可能會粗心在某個地方。

所以想問問其他解法。

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2023-4-24 17:17 編輯 ]

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回覆 6# 5pn3gp6 的帖子

第 12 題
先計算小於 2000 的有幾個

設此數為 abcd,其中 a,b,c 是 0 到 9 的整數,d 是 0 到 9 的偶數,且不全為 0
(1) d = 0
(i) a = 0,b + c = 6,12,18,有 7 + 7 + 1 = 15 種情形
(ii) a = 1,b + c = 5,11,17,有 6 + 8 + 2 = 16 種情形
計 31 種情形

(2) d = 2
(i) a = 0,b + c = 4,10,16,有 5 + 9 + 3 = 17 種情形
(ii) a = 1,b + c = 3,9,15,有 4 + 10 + 4 = 18 種情形
計 35 種情形

(3) d = 4
(i) a = 0,b + c = 2,8,14,有 3 + 9 + 5 = 17 種情形
(ii) a = 1,b + c = 1,7,13,有 2 + 8 + 6 = 16 種情形
計 33 種情形

(4) d = 6
同  (1),但多 1 種 b + c = 0 的情形,有 32 種情形

(5) d = 8
同  (2),有 35 種情形

2000 以上的有 2004 和 2022 這 2 個

所求 = 31 + 35 + 33 + 32 + 35 + 2 = 168 個

[ 本帖最後由 thepiano 於 2023-4-24 21:19 編輯 ]

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想問填充1,謝謝

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回覆 6# 5pn3gp6 的帖子

填充 12. 花了不少時間,想了一個可能比較好算的作法,但考試時好像沒這麼多時間想

我們先將這樣的正整數補齊四位,如 0024,此時將千位數定為 0、百位數定為 0。
「6的倍數,且每個位數和也是6的倍數」等價於「個位數為偶數,且每個位數和也是6的倍數」

(1) 考慮千位數為 2 的情況,6的倍數有 2004, 2010, 2016, 2022,其中 2004, 2022 兩者符合題意。

(2) 考慮千位數為 0,1,個位數為偶數的情況:
將百位數 b 與十位數 c 之和,模 6 進行分類
當 b=4,5,..,9, c =0,1,2,...9,各同餘類均出現 10 次。
當 b=0,1,2,3, c =4,5,..,9,各同餘類均出現 4 次。
當 b=0,1,2,3, c =0,1,2,3, \( b+c \) 模 6 與 0,1,2,3,4,5 同餘,分別出現 2,2,3,4,3,2 次

故百位數 b 與十位數 c 之和,模 6 的可能:
\( b+c \) 模 6 與 0,1,2,3,4,5 同餘,分別出現 16,16,17,18,17,16 次

因個位數為偶數,故 \( b+c \) 為奇數時必須搭配千位數 1, \( b+c \) 為偶數時必須搭配千位數 0
將千位數記為 a, 故 \( a+b+c \) 模 6 與 0,2,4 同餘,分別出現 32,33,35, 次

\( a+b+c \equiv 0 \) (mod 6) 時,個位數為 0 或 6
\( a+b+c \equiv 2 \) (mod 6) 時,個位數為 4
\( a+b+c \equiv 4 \) (mod 6) 時,個位數為 2 或 8
其中 0000 非正整數。

綜合以上,所求 \( = 2 + 32 \cdot 2 + 33 + 35 \cdot 2 -1 = 168 \)
網頁方程式編輯 imatheq

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回覆 8# lisa2lisa02 的帖子

填充第 1 題
令 |z| = k
k(3z + 2i) = 2(iz - 6)
z = (-12 - 2ki) / (3k - 2i)
k^2 = |z|^2 = (144 + 4k^2) / (9k^2 + 4)
|z| = k = 2

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