計算一的Mt
要考慮到會繞著行星轉吧

計算1
已知一平面上，行星\(E\)以圓形軌道逆時針繞行恆星\(S\)，行星\(E\)的衛星\(M\)以圓形軌道逆時針繞行行星\(E\)。阿宗觀察行星\(E\)繞行恆星\(S\)一圈需時500天，衛星\(M\)繞行行星\(E\)一圈需時50天，試回答下列問題：
(1)若阿宗將恆心\(S\)的位置定為坐標原點\((0,0)\)，對於阿宗而言第0天時行星\(E\)的坐標在\((400,0)\)，衛星\(M\)的坐標在\((401,0)\)。求第\(t\)天時，衛星\(M\)的坐標。
(2)承上題，若\(\angle SEM\)在第0天時第一次等於\(180^{\circ}\)，求下一次\(\angle SEM=180^{\circ}\)時是第幾天。
[解答]

選擇2
已知方程式\(2xsin(\pi x)=1\)，且\(x\in [0,3]\)，則此方程式有幾個解？
(A)1　(B)2　(C)3　(D)4
[解答]
答案如附件

已知橢圓\(\Gamma\)的一頂點為\((0,3)\)，\(F_1(-4,0)\)、\(F_2(4,0)\)為其焦點，若點\(A(1,1)\)，\(P\)為\(\Gamma\)上的動點，則\(\overline{PA}+\overline{PF_2}\)的最大值為　　　。
[解答]
設\(R\)為直線\(F_1A\)在第三象限與橢圓的交點，
則\(PF_2+PA\leq PF_2+PF_1+AF_1=RF_2+RF_1+AF_1\)，
所以當\(P=R\)時有最大值\(10+AF_1=10+\sqrt{26}\)

註：若改成第一象限的交點，就變最小值。

設\(n\)為正整數，定義\(n\)的各位數的數字和為\(f(n)\)，例如：\(f(2023)=2+0+2+3=7\)，\(f(135)=1+3+5=9\)，則滿足\(f(n)+n=2023\)的所有正整數\(n\)的和為　　　。
[解答]
因為\(f(n)+n=2023\)，所以\(n<2023\)，
此範圍內\(f(n)\)最大是\(n=1999\)時，所以\(f(n)\leq f(1999)=28\)，
於是\(n\geq 1995\)，接下來只要測試\(n=1995\)到\(2022\)這個範圍的數即可。

\(2000\)到\(2009\)與\(2020\)到\(2022\)為偶數，不可能。
\(1995\)到\(1999\)這段遞增，可知\(1997\)是一解。
\(2010\)到\(2019\)這段遞增，可知\(2015\)是一解。

所以所有解為\(1997+2015=4012\)

\(X\)為有限集合，定義函數\(f(X)\)為\(X\)內最大的數，減第二大的數，加第三大的數，減第四大的數，\(\ldots\)，依此類推。
例如：\(f(\{\;3,6,10,1 \}\;)=10-6+3-1=6\)，\(f(\{\;3,6,10,2,4 \}\;)=10-6+4-3+2=7\)。
若\(A=\{\;1,2,3,4,\ldots,112 \}\;\)，而\(X\)為\(A\)中的非空子集，則所有\(f(x)\)的和為　　　。
[解答]
所有不包含\(112\)的集合\(X\)，其\(f(X)+f(X∪\{112\})=112\)。
所以只要計算\(112\)出現幾次即可，因此總和為\(112×2^{111}\)。

已知方程式\(2xsin(\pi x)=1\)，且\(x\in [0,3]\)，則此方程式有幾個解？
(A)1　(B)2　(C)3　(D)4
[解答]
亦即求兩圖形\(y=\frac1x\)與\(y=2\sin(\pi x)\)的交點數。
易知在\(x\in(2,3)\)時有兩解，與\(x=\frac12\)時有一解。
又因為\(x=\frac12\)時\(y=\frac1x\)凹向上，\(y=2\sin(\pi x)\)凹向下，所以\(x\in(\frac12,1)\)還會有一解。
共四個解。

註：13樓有畫\(y=\sin(\pi x)\)與\(y=\frac1{2x}\)示意圖。

一疊撲克牌共10張，某種洗牌方式如下：洗完一次後，原第6張會變第1張，原第1張變第2張，原第7張變第3張，原第2張變第4張，…依此類推；換句話說，就是原來的第1到10張，會依序移到第\(2, 4, 6, 8, 10, 1, 3, 5, 7, 9\)張。若用此種洗牌方式連續洗了2023次後，則第10張牌會是一開始的第幾張牌？
(A)第1張　(B)第4張　(C)第6張　(D)第9張
[解答]
每次的洗牌，就是一個排列的函數，依題意
\(\phi=\left(\begin{array}{cccccccccc}
1&2&3&4&5&6&7&8&9&A \\
2&4&6&8&A&1&3&5&7&9
\end{array}\right)=(12485A9736)\)
此為10-cycle，所以10次一循環。
\(\phi^{2023}(x)=10=\phi^3(x)\)所以\(x=4\)(就\(A\)往前數\(3\)個)

我覺得這題很不錯，基本的代數群論，改成易懂的情境。

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-4-15 23:28 發表
像這種不公布 非選擇題答案
考生不知道是否有被改錯
實在是不負責任的做法

不知為什麼主辦不公布答案，
據我所知，出題教授都會給答案。

引用:

原帖由 Ellipse 於 2023-4-15 23:28 發表

像這種不公布 非選擇題答案
考生不知道是否有被改錯
實在是不負責任的做法

去年臺北市聯招還有公布填充題答案和計算題簡答，今年直接省略
報名費收那麼多，結果數學科有的題目國中生就會做，有些抄得很高興
跟全國聯招比起來，還有很大的進步空間
那些市立前幾志願高中被加入聯招應該很不願意