依往例南一中應該會公告題目，這邊先附上計算提供大家討論。
今年考得很難，寫起來應該是要兩個小時的考卷，但實際只有九十分鐘...

計算題共3題，每題9分。
一、求 10202210674+2022 的末4位數。
二、設三複數 在座標平面上代表ABC三點(其中A在第一象限)，且ABC是正三角形。已知滿足

4−23+2(2−4)+8−42=0

，
且 ABC之重心G為2110111，試求。
三、設實係數多項式 f(x)滿足 deg(f(x))2，且f(x)是f(x)的因式，請問f(x)=0的實根個數、y=f(x)的極值點以及反曲點個數各有幾個？

填充題
4.
AOB=60 ，PA⊥OA，PB⊥OB，PA=2，PB=1，若OP=OA+OB，求數對()=　　　。

9.
求極限limn(31+32+33++3n)3(12+22+32++n2)(1+2+3++n)2(13+23+33++n3)之值為　　　。
我的教甄準備之路　黎曼和和夾擠定理，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=3#pid23615


11.
已知p=112+134+156++120212022，
q=110122022+110132021+110142020++120221012，試求qp之值=　　　。
[公式]\
p=(22022+1+2022)(一堆分數相加)
q=2(一堆分數相加)

兩正數a=112+134+156++120032004
b=110032004+110042003+110052002++120041003
則 \displaystyle \frac{a}{b}= ？(請化為最簡分數)
(99彰化女中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=948&page=1#pid2128)
[公式]
\displaystyle a=(\frac{2004}{2}+1+2004)(一堆分數相加)
\displaystyle b=2(一堆分數相加)

計算證明題
1.
試求\displaystyle  \left[\frac{10^{2022}}{10^{674}+2022}\right] 的末4位數，其中[\; ]\;表不大於x的最大整數。
相關問題https://math.pro/db/thread-708-1-1.html

1.
試求\displaystyle  \left[\frac{10^{2022}}{10^{674}+2022}\right] 的末4位數，其中[\; ]\;表不大於x的最大整數。
[解答]
令\displaystyle A=10^{674}+2022
所求為\displaystyle M= A^2-6066A+3\cdot 2022^2-1 除以10000的餘數
\displaystyle M \equiv 2022^2-3\cdot 2022^2+3\cdot 2022^2-1 \equiv 2022^2-1\equiv 8483\ (mod\ 10000)

BTW 今年一堆獨招都只有考90分鐘 實在不知道怎麼回事.....

計算二
設複數平面上三點A(\alpha)、B(\beta)、C(\gamma)可連成正三角形ABC，已知\alpha、\beta、\gamma滿足\alpha^4-2\alpha^3\beta+(\beta^2-4)\alpha^2+8\alpha\gamma-4\gamma^2=0且\alpha的實部和虛部均為正數，當\Delta ABC的重心G為\displaystyle \frac{\alpha^{111}}{2^{110}}時，求\beta及\gamma各為多少？
[解答]
化簡那串式子可得 \alpha^2(\alpha-\beta)^2=(2\alpha-2\gamma)^2 ，因此
\displaystyle \alpha=\pm \frac{2(\alpha-\gamma)}{\alpha-\beta}，由圖形及複數除法的意義及A在第一象限，
可得 \alpha=2(\cos60^{\circ} + i \sin60^{\circ}) ，再由重心G為\displaystyle \frac{\alpha^{111}}{2^{110}} ，
可得G所代表的複數為 -2 。再來(我直接用A, B, C, G表示複數了)，因為 A-G知道了，
所以 (B-G)=(A-G)(\cos120^{\circ} + i \sin120^{\circ})  、 (C-G)=(B-G)(\cos120^{\circ} + i \sin120^{\circ})  。
得出來的結果在加G(-2)就可以得到 \beta, \gamma 。

這題小弟第一步有想到
結果時間壓力根本沒想到移項這件事情.....
然後就白白送9分了
這題真的不應該寫不出.....

計算3.
已知deg(f(x))=n\ge 2且f'(x)是f(x)的因式，試求f(x)=0的相異實根個數及y=f(x)圖形的極值點個數、反曲點個數。
[解答]
不失一般性，設 f(x) 首項係數為 1，
由原題條件得：
f(x) = (1/n) f'(x) (x-k), 其中 k 為某實數。
對上式微分並整理有：
f'=(1/(n-1))f''(x)(x-k)，
再微分，依此類推得
f(x) = (1/n!) f^(n)(x) (x-k)^n
注意到， f^(n)(x) =n!
故 f(x) = (x-k)^n
有唯一實根（n 重根），有唯一極值點，n 為奇數時有唯一反曲點，n 為偶數時無反曲點。

沒關係，我看到你寫的第 1 題詳解，發現我末四位寫成 mod1000...，這才是白白送 9 分，不知道閱卷老師會不會好心部分給分...
我寫答案的時候還想說末四位，所以 483 前面還要加一個零變成 0483...

學校已公告試題與答案
標題是否要改為「111臺南一中二招」？

111.4.25補充
將題目移到第一篇，將標題加上111臺南一中二招

通常"二招"，應該是同一年，數學招考第二次吧?

謝謝鋼琴老師建議
要不要加二招我想了很久

後來想說，萬一臺南一中這次沒有招到老師
那麼他就會舉辦111學年度第3次教師甄選
到時候數學科就會有第二份數學考卷，而上面的標題是「111學年度第3次教師甄選」

那之後的考生練習考古題時，就會有兩份考卷，
上面的標題分別是「111學年度第2次教師甄選」和「111學年度第3次教師甄選」

而如果我們在 mathpro 的標題分別是「111臺南一中」和「111臺南一中二招」，感覺會無法呼應。

因此建議 mathpro 的標題應該改成「111臺南一中二招」較佳。