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原帖由 Joanna 於 2022-4-29 13:43 發表
想請問一下9、10題,謝謝
#10
設\(\sqrt{-1}=i\)且複數\(z\)和\(w\)滿足\(|\;z|\;=3\)及等式\(\displaystyle zw+\frac{1}{2}wi=3i-\frac{1}{2}\overline{w}i+z\),其中\(\overline{w}\)為\(w\)的共軛複數。令\(\left| w-\frac{1}{2} \right|\)的最大值為\(M\)、最小值為\(m\),求數對\((M,m)=\)
。
[解答]
z*w+(1/2)w*i=3i-(1/2)ŵ*i +z (ŵ表示w bar)
z(w-1)=i [ 3-1/2(ŵ+w) ] (令w=x+y*i)
3* √[(x-1)² +y²] = |3- x|
整理得(x-3/4)² / (9/16) + y² /(1/2)=1
w所形成圖形為一個橢圓Γ,中心(3/4,0)
令a² =9/16 ,b²=1/2 ,c² =a²-b²=9/16-1/2 =1/16
a=3/4 ,c=1/4,所以Γ的其中一個焦點為F1(3/4-1/4,0)=(1/2,0)
則所求|w-1/2|的
最大值M=a+c=3/4+1/4=1
最小值m=a-c=3/4-1/4=1/2
數對(M,m)=(1,1/2)