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111桃園高中

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111桃園高中

題目還沒釋出,分享一下我記憶中的計算題一跟二,希望有人可以記得三跟四謝謝!

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回復 1# Gary 的帖子

題目已釋出,但沒計算題

111.4.25補充
第一部分填充4答案更正為1

附件

111 桃園高中.pdf (304.07 KB)

2022-4-24 09:42, 下載次數: 675

111 桃園高中_答案(更正).pdf (105.01 KB)

2022-4-25 12:33, 下載次數: 364

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計算2,已知 abc=1, a,b,c 皆正,求證:

1/a^3(b+c) + 1/b^3(a+c) + 1/c^3(a+b) >= (1/a+1/b+1/c)/2

我的作法:
b^2c^2/a(b+c) + a^2c^2/b(a+c) + a^2b^2/c(a+b) >=(科西) (ab+bc+ab)^2/(2(ab+bc+ac)) =(ab+bc+ac)/2 = (1/a+1/b+1/c)/2

計算4
令 P(x^2023) +x^3Q(x^2023) + x^5R(x^2023) = (1+x+...+x^2022)S(x)
求證:S(x) 有 (x-1) 之因式

我的作法:
令 w = cos pi/2023 + i sin pi/2022
x=w, x=w^2 ,.., x=w^2022 帶入相加,可得 P(1)=0
左右同除x^3, 再一次用 x=w, x=w^2 ,.., x=w^2022 帶入相加,可得 Q(1)=0,
同理R(1)=0,因此S(1)=0,得證。

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2.
假設\([\; ]\;\)為高斯記號(說明:例如\([\;a ]\;\)表示小於或等於實數\(a\)的最大整數),請求出方程式\(x^2-12[\;x ]\;+11=0\)的所有解   

[]表高斯符號,求解\(3x^2-19 \cdot [\;x ]\;+20=0\)。
(105高雄餐旅大學附屬高中,https://math.pro/db/thread-2527-1-1.html)



3.
設\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)、\(\delta\)為方程式\(x^4+13x^3+17x^2+6x+1=0\)的四個根,求\(\displaystyle \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}+\frac{1}{\delta^2}\)的值為   
[提示]
令\(1+13y+17y^2+6y^3+y^4=0\)四根為\(\displaystyle \frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta},\frac{1}{\gamma},\frac{1}{\delta}\)
再用https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2501方法下去算

設\( 4x^3+3x^2+2x+1=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \),則\( \displaystyle \frac{1}{\alpha^5}+\frac{1}{\beta^5}+\frac{1}{\gamma^5} \)?
(100苑裡高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1178&page=1#pid3963)

5.
設地球為空間中一球體。今以地球球心為原點,地球半徑為單位長,建立一個直角坐標系。若地球表面上有甲、乙、丙三地,甲、乙的坐標分別為\((1,0,0)\)及\(\displaystyle (0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})\),而丙地位於甲乙兩地之間最短的路徑上,且甲丙路徑長為乙丙路徑長的2倍,求丙地的坐標   

今一單位球(半徑為1的球)球心為原點,且球面上兩點P、Q座標分別為\( P(1,0,0) \)、\( \displaystyle Q(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}) \),延著球面行進,於PQ最短路徑中取一點R,使得(PR弧長):(QR弧長)=1:2,試求R點座標。
(99大安高工,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=960&page=1#pid2178)


12.
桃園高中80周年慶,師生想利用8個8組成一個校運昌隆數作為紀念,經過討論後決定以\(8888^{8888}\)作為此校運昌隆數。將此校運昌隆數展開後的各位數字和令為\(A\),再將\(A\)的各位數字和令為\(B\),求\(B\)的各位數字和為   

When \(4444^{4444}\) is written in decimal notation, the sum of its digits is \(A\). Let \(B\) be the sum of the digits of \(A\). Find the sum of the digits of \(B\). (\(A\) and \(B\) are written in decimal notation.)
1975IMO,https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_4
weiye解題,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1387&page=1#pid6086

計算2.
已知\( abc=1\),\(a,b,c\)皆正,求證:\(\displaystyle \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\ge \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{2}\)

Let \(a, b, c\) be positive real numbers such that \(abc=1\). Prove that \(\displaystyle \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\ge \frac{3}{2}.\)
1995IMO,https://artofproblemsolving.com/ ... _Problems/Problem_2

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填充4
應該能整理成2x^2-x^(1/2)=2(sinx)^2-(sinx)^(1/2)
由於y=2x^2-x^(1/2)嚴格遞增
解應該發生於x=sinx
此時x=0
故實根應只有一個
想請問各位老師,我的過程是否有誤?

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引用:
原帖由 zerogil159 於 2022-4-24 11:53 發表
填充4
應該能整理成2x^2-x^(1/2)=2(sinx)^2-(sinx)^(1/2)
由於y=2x^2-x^(1/2)嚴格遞增
解應該發生於x=sinx
此時x=0
故實根應只有一個
想請問各位老師,我的過程是否有誤? ...
我覺得答案可能給錯了~應該只有一個實數解
1+√ (sinx)-√ x =cos(2x)+2x²  ,
整理成2[(sinx)²-x²]+(√ (sinx)-√ x )=0
(√ (sinx)-√ x) [2√ (sinx)+2√ x+1]=0
√ (sinx)-√ x=0 =>sinx=x-------(*)
∵0≦x≦π,畫圖可知僅當x=0時
符合(*)的解  ∴所求只有一個實數解

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-4-24 12:24 編輯 ]

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回復 5# zerogil159 的帖子

請問老師有提試題疑義了嗎?

好的 麻煩zerogil159老師了

[ 本帖最後由 enlighten0626 於 2022-4-25 08:44 編輯 ]

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回復 7# enlighten0626 的帖子

我正在寫,等等提出

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第一部分填充4答案更正為1了

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一、填充5

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20220427_121531.jpg (59.23 KB)

2022-4-27 12:17

20220427_121531.jpg

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