寫過最難的一份考卷.....小弟只能拋磚引玉寫幾題會的提供想法給各位參考
2.
令二階方陣\(E_k=\left[\matrix{cosk^{\circ}&sink^{\circ}\cr sink^{\circ}&-cosk^{\circ}}\right]\)，則2022個方陣的乘積\(E_1E_2E_3\ldots E_{2002}=\) 。
[解答]
\(\displaystyle E_kE_{k+1}\)可以合成一個順時針旋轉\(1^{\circ}\)的旋轉矩陣，共有1011組，取同界角為\(69^{\circ}\)
4.
五邊形\(ABCDE\)，在頂點\(A\)有一隻青蛙，每次青蛙會隨機往一個相鄰的頂點跳躍(也就是往相鄰的機率皆為\(\displaystyle \frac{1}{2}\))，當再跳到\(A\)的時候即停止跳動。則該青蛙跳躍次數的期望值為 。
[解答]
假設從B，E到A的期望值為x C，D到A的期望值為y
可以列式 \(\displaystyle x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1+y) , y=\frac{1}{2}(1+x)+\frac{1}{2}(1+y)\)
解得\((x,y)=(4,6)\)
因為從A出發的第一步必得是往B或是E，所以所求為4+1=5
5.
已知平面上三點\(A(8,9)\)、\(B(40,136)\)、\(C(103,90)\)，則在\(\Delta ABC\)內部(不包含邊界)有 個格子點。
[解答]
用皮克定理: \(\displaystyle A=n+\frac{1}{2}S-1\)，其中 S為邊上格子點數量，n為內部格子點數量
這題數字也算是有配好，因為可以發現邊上的格子點，除了頂點外根本沒有，所以S=3
剩下的就只能真的土法煉鋼硬算面積了
\(\displaystyle \frac{9473}{2}=\frac{3}{2}+n-1 \Rightarrow n=\frac{9472}{2}=4736\)
10.
已知\(I\)為\(\Delta ABC\)的內心，且\(4\vec{IB}+4\vec{IC}=-5\vec{IA}\)，設\(R\)，\(r\)分別為\(\Delta ABC\)的外接圓半徑與內切圓半徑，若\(r=15\)，則
\(R\)之值為 。
[解答]
很笨的方法 直接改寫向量 \(\displaystyle \vec{AI}=\frac{4}{13}\vec{AB}+\frac{4}{13}\vec{AC}\)
延長\(\displaystyle \overline{AI}\)交\(\overline{BC}\)於D
可得\(\displaystyle \overline{AI}:\overline{ID}=8:5\) ，直接設\(\displaystyle \overline{AI}=8,\overline{ID}=5\)
接下來即可求出邊長比\(\displaystyle a:b:c=5:4:4\)
利用\(\displaystyle \frac{R}{r}=\frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)}\)，即可求出\(R=32\)
好幾題回去想才發現根本沒那麼難... 90分鐘真的夠趕...
