第 1 題
令 b_n = √(1 + 24a_n) > 0
a_n = [(b_n)^2 - 1] / 24

代入原式整理可得
2b_(n+1) = b_n + 3
b_n = 3 + [(1/2)^(n - 2)]
剩下的就簡單了

謝謝！好厲害的方法！

1.
數列an滿足a1=1an+1=116(1+4an+1+24an)nN ，試求an的一般式。
(109中科實中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3347&page=1#pid21480)

請問第6題

第 6 題
所圍區域的邊界上方是 y = 2x + 15

要積分的函數是 y = 2x + 15 - x^2
它在 x = 1 時有最大值
故 x 從 1/2 積到 3/2 時，面積有最大值

[ 本帖最後由 thepiano 於 2022-4-19 20:41 編輯 ]

謝謝鋼琴老師!

引用:

原帖由 新手老師 於 2022-4-19 20:21 發表
請問第6題

∫ {t  to t+1}  (2x+15-x^2)dx
= -t^2+t+47/3
當t=1/2時,所求有最大值191/12

用GGB驗證一下答案如下

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-4-19 23:27 編輯 ]

這題目前還沒人問但其實頗有難度，解題過程也很漂亮，小弟分成兩步驟，解如下：

(1) 證明：cos(n+2)=2coscos(n+1)−cosn。
     利用和差角公式，計算可得cos(n+1+1)+cos(n+1−1)=2coscos(n+1)。

(2)計算a1=3cos=331=1a2=32cos2=9(−97)=−7a3=33cos3=27(4127−331)=−23
，所以 a1a2a3皆為不被3整除的整數。
假設ak+1ak均為不被3整除的整數，利用(1)得到的 cos 遞迴式，可得
ak+2=3k+2cos(k+2)=3k+2(2coscos(k+1)−cosk)=23313k+1cos(k+1)−93kcosk=2ak+1−9ak，因ak+1ak均為整數，故ak+2也是整數，又因
9ak為3的倍數，但2ak+1皆不是3的倍數，故ak+2也不是3的倍數，因此由數學歸納法得證。     

如有錯誤或其他解法，請不吝指正或分享，感恩！

[ 本帖最後由 swallow7103 於 2022-4-19 23:37 編輯 ]

想請教第十三題，非常謝謝！

第 13 題
2005 APMO Problem 5