雄女好像沒有放題目在官網，自己記得前面四題，想說拋磚引玉，有考的老師們大家看能不能一起拼湊出整份題目！
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感謝swallow7103 老師提供大部分題目
小弟把題目彙整成pdf檔案,方便大家討論!
如果有打錯再跟我說!
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備註： 筆試最低錄取37分

引用:

原帖由 yosong 於 2022-4-17 18:38 發表
雄女好像沒有放題目在官網，自己記得前面四題，想說拋磚引玉，有考的老師們大家看能不能一起拼湊出整份題目！

#2 考古題: 利用科西不等式~~

依往例雄女不曾公布題目，趁記憶猶新來跟大家分享。

※共14題計算證明題，1~12每題7分，13、14各8分。
1.數列an滿足a1=1an+1=116(1+4an+(1+24an))nN ，試求an的一般式。

2.設x1x2x3xn均為正實數，且nk=1xk=48nk=1x2k=36nk=1x3k=27，求n。

3.方程式x8+ax4+1=0有四實根四虛根，且四個實根成等差數列，求a。

4.方程式(x2+4x+3)2+k=0 有一正根一負根及二虛根，試求k的範圍。

5.

limmlimn[m21+n1n+2n+n2n+3n++n(m−1)n+mn]=？ 

6.請問函數y=x2和 y=2x+15所圍的區域在 x=t和 x=t+1間面積的最大值為何？

7.設f(a)=limxa1x−aax(2t−1)(t−2)2  dt ，令 f(a)的極大值 M和極小值 m，求(Mm)。

8.拋物線y=x2+1和y=−(x−1)2的兩條公切線和兩圖形切於4個相異點，請問此4點所圍成的四邊形面積為何？

9.ABC的重心為G，過G作一直線分別交AB、AC於PQ，請證明APQ的面積至少為ABC的九分之四。

10.(題目的數據太複雜，算完就忘了XD，以下僅提供大意)
令B是一個可對角化的33矩陣且eigenvalues分別為 1, 1, 2 ，令 B^n 的9個元素分別為 a_1, a_2, a_3, \dots, a_9 ，其中 a_5 在正中間。計算

\lim\limits_{n \to \infty } \frac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_9}{a_5} =？

11. log_2 (x^2 + 20x) - log_2 (4x-3a-\frac{3}{2}) = 1 的 x 有唯一解，求 a 的範圍。

12.設 cos\theta = \frac{1}{3} ，令 a_n = 3^n cos n\theta，證明 \forall n \in \mathbb{N} ， a_n 必為整數且不為3的倍數。

13.在 \Delta ABC 的 AB, AC 上各取一點 m, n ，使得 MB=BC=CN 。令 \Delta ABC 的外接圓半徑、內切圓半徑分別為 R, r ，試求 \frac{MN}{BC} 。

14.(考場中沒想法所以沒寫，數字不太確定)
設 x \geq y \geq z \geq w \geq 0 ， 5x+4y+3z+6w=2013 ，求 x+y+z+w 的最大值及最小值。

如有誤植還請各位網友不吝指正。

請教橢圓老師，用柯西大概要怎麼做呢？我都只得到一些n的範圍，求不出確切的值，想了一段時間還是沒頭緒

\displaystyle((x_1^{\frac{1}{2}})^2+(x_2^{\frac{1}{2}})^2+\cdots+(x_n^{\frac{1}{2}})^2)((x_1^{\frac{3}{2}})^2+(x_2^{\frac{3}{2}})^2+\cdots+(x_n^{\frac{3}{2}})^2)\geq (x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2)^2


因為 48\times 27=36^2 ，等號成立，所以 \displaystyle \frac{x_1^{\frac{3}{2}}}{x_1^{\frac{1}{2}}}= \frac{x_2^{\frac{3}{2}}}{x_2^{\frac{1}{2}}}=\cdots \frac{x_n^{\frac{3}{2}}}{x_n^{\frac{1}{2}}}=t 可以得到 x_1^2=x_2^2=\cdots=x_n^2=t
再帶回去運算就可以解了..

看到橢圓老師的提示才想到怎麼做…我自己還在裡面亂推公式..

原來是這樣-.-我有寫出這條，但是竟然沒有往等號成立的方向走，謝謝解惑

最後一題是5x+4y+3z+6w=2013

感謝告知，已更正。

#14   也算是考古題了
(1)當x=y=z= 671/4 ,w=0時
    x+y+z+w有最大值2013/4
(1)當x=2013/5 ,y=z=w=0時
    x+y+z+w有最小值2013/5

想請教各位老師~第1,2題的解法。謝謝