#12
這題目前還沒人問但其實頗有難度，解題過程也很漂亮，小弟分成兩步驟，解如下：
(1) 證明：\( \cos (n+2)\theta =2\cos \theta \cos (n+1)\theta -\cos n\theta \)。
利用和差角公式，計算可得\( \cos (n+1+1)\theta + \cos (n+1-1)\theta =2\cos \theta \cos (n+1)\theta \)。
(2)計算\( a_1 = 3 \times \cos\theta =3 \times \frac{1}{3} =1, a_2 = 3^2 \times \cos 2\theta =9 \times (-\frac{7}{9}) = -7, a_3 = 3^3 \times \cos 3\theta =27 \times (4 \times \frac{1}{27} - 3 \times \frac{1}{3}) = -23 \)
，所以 \(a_1, a_2, a_3 \)皆為不被3整除的整數。
假設\( a_{k+1}, a_k \)均為不被3整除的整數，利用(1)得到的 cos 遞迴式，可得
\( a_{k+2} = 3^{k+2} \cos (k+2)\theta
= 3^{k+2} (2\cos \theta \cos (k+1)\theta -\cos k\theta)
= 2 \times 3 \times \frac{1}{3} \times 3^{k+1} \cos (k+1)\theta - 9 \times 3^k \cos k\theta
= 2a_{k+1} - 9a_{k} \)，因\( a_{k+1}, a_k \)均為整數，故\( a_{k+2} \)也是整數，又因
\( 9a_{k}\)為3的倍數，但\( 2, a_{k+1} \)皆不是3的倍數，故\( a_{k+2} \)也不是3的倍數，因此由數學歸納法得證。
如有錯誤或其他解法，請不吝指正或分享，感恩！
[ 本帖最後由 swallow7103 於 2022-4-19 23:37 編輯 ]
