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111臺南女中

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引用:
原帖由 r91 於 2022-4-19 09:59 發表
請問一下第13、14題
13.
(兩直線)與圓共有三個交點

Case1 兩直線一者為圓之切線,一者為割線,且兩直線不交於圓上
但圓心到兩直線的距離相等,所以此情形不合

Case2 兩直線皆為圓之割線,且兩直線交於圓上
以此即可解a

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14. 提供另一個比較沒技術但簡單的想法
題目沒設計這麼剛好的話,第一時間我也沒想法

設\(f(x)=(ax+b)(x+1)=(ax^2+(a+b)x+b)\)
注意到\(y=x\)和\(y=(x^2+1)/2\) 交於(1,1)
所以\(y=f(x)\)必過(1,1),解得\(a+b=1/2\)

再處理不等式,解判別式,得\(a=1/4\)

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謝謝老師的解答,再請問一下填充第一題

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引用:
原帖由 r91 於 2022-4-19 15:05 發表
謝謝老師的解答,再請問一下填充第一題
設\(z=\cosθ+i\sinθ\),則\(\cos11θ+\cosθ=1\)且\((\sin11θ+\sinθ)=0\)
所以\(\sin11θ=-\sinθ\),則\(\cos11θ=±\cosθ\)(負不合),所以\(\cosθ=1/2\)
所以\(\sinθ=±\sqrt{3}/2\)

12樓的satsuki老師也有提供想法


門檻出來了
門檻62分

[ 本帖最後由 5pn3gp6 於 2022-4-19 17:07 編輯 ]

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1.
設\(|\;z|\;=1\)且\(z^{11}+z-1=0\),試求複數\(z\)之值。

計算證明題
1.
令\(\displaystyle \omega=cos\frac{2\pi}{111}+i sin\frac{2\pi}{111}\),其中\(i=\sqrt{-1}\)。試求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{110}\frac{\omega^{2k}}{\omega^k-1}\)的值。
[提示]
這裡考計算證明當然要會寫全部過程,若只問答案有現成公式
公式\(\displaystyle \sum_{k=1}^{110}\frac{\omega^{2k}}{\omega^k-1}=\frac{1}{2}(110-2)=54\)

3.
已知\(n\)個相異的正奇數與\(m\)個相異的正偶數的和為1000,求\(6n+8m\)的最大值。
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1327&page=1#pid5182

7.
設\(\displaystyle -\frac{\pi}{4}\le \theta \le \frac{\pi}{4}\),若下列\(x,y,z\)的方程組
\(\cases{(\sqrt{2}(sin\theta+cos\theta)-2)x-3y-3z=0 \cr 3x+y-z=0 \cr 13x+7y-\sqrt{2}(sin\theta+cos\theta)z=0}\)
有異於\(x=y=z=0\)之解,求\(\theta\)的值=   

設有一奇整數n及一角θ使得聯立方程式
\( \cases{3^n y+(sin 2 \theta)^n z=0 \cr
(1+sec \theta)^n x+z=0 \cr
-x+(1+csc \theta)^n y=0} \)
中的x,y與z不只一組解,試求\( sin \theta+cos \theta+tan \theta+cot \theta+sec \theta+csc \theta \)之值。
(98台灣師大大學甄選入學指定項目甄試試題)
(99基隆高中,https://math.pro/db/viewthread.php?tid=972&page=1#pid2248)

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計算1其實就雄中第一題的原型,一樣使用頭尾相加跟等比級數就可以求解

https://math.pro/db/thread-3619-2-1.html

7. 令\(\sin\theta+\cos\theta=t\),把第一列第二行跟第三列第二行變0直接降階就可以求出\(t=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)
所求一定是特殊角不難猜答案

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2022-4-20 09:59 編輯 ]

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請教填充10

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引用:
原帖由 enlighten0626 於 2022-4-20 20:12 發表
請教填充10
向量OP=sinα*(1,1,2)+cosβ*(-1,2,1)
∵ 0≦α≦π/6 ,0≦β≦π/3  ∴ 0≦sinα≦1/2, 1/2≦cosβ≦1
令向量a=(1,1,2),向量b=(-1,2,1)
由向量a與向量b所張成的(空間中)平行四邊形面積
=√ [(1²+1²+2²)((-1)²+2²+1²)-3²] =3√ 3
所求=(1/2)*(1-1/2)*3√ 3=(3√ 3)/4

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2022-4-20 21:43 編輯 ]

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回復 27# Ellipse 的帖子

感謝老師解惑

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請教填充8

請問除了用向量分點公式硬算外,有無更快的方法?

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回復 29# son249 的帖子

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