將\(n\)與比\(n\)小的數皆視為相同，讓\(n\)強制排于這些數最左，之後再對小於\(n\)的\(n-1\)的數做排列，可得\(n\)可採計的數量

不好意思我想請教的是填充第8題，
想請問老師期望值的算法，謝謝。

填充第 8 題
數字1~9隨機排成一列，接著將前面沒有更小數字的那些數字圈選出來，計算被圈選的數字總和。例如:123456789只圈選1，得到的和為1；548721936圈選5、4、2、1，得到的和為12；987654321得到的和為45等等。則這樣的和的期望值為　　　。
[解答]
題意是數字由左而右要愈取愈小
數字 1：不管怎麼排列，數字 1 一定會被取到，共有 9! 個 1，總和為 9!
數字 2：2 一定要排在 1 的左邊，才會被取到，共有 9! / 2 個 2，總和亦為 9!
數字 3：3 一定要排在 2 和 1 的左邊，才會被取到，共有 9! / 3 個 3，總和亦為 9!
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:
數字 9：9 一定要排在最前面，才會被取到，共有 9! / 9 個 9，總和亦為 9!

所求 = 9! * 9 / 9! = 9

謝謝 cut6997 老師、 thepiano 老師的詳細說明！

不好意思，請問填充9的思維該怎麼下手呢?  那個算式怎麼得到的?

填充第 9 題
先估一下
若 x ＞ 700
[x] + [x/2] ＞ 1050，不合

原方程精簡成 [x] + [x/2] + [x/6] + [x/24] + [x/120] = 1001
利用 x ≧ [x]
x + x/2 + x/6 + x/24 + x/120 ≧ 1001
206x ≧ 1001 * 120
x ≧ 583.1...

當 x = 584
[x] + [x/2] + [x/6] + [x/24] + [x/120]
= 584 + 292 + 97 + 24 + 4
= 1001

想請問單選8分母用不盡相異物排列解題的盲點><?

每條捷徑的機率不盡相同

題目是到叉路口的選擇機會相等，不是每條捷徑被選到的機會相等

Ok，感謝