12.
坐標平面上一直線\(x-my=n(n>0)\)過點\(A(5\sqrt{3},5)\)，若\(\cases{x-\sqrt{3}y\ge 0\cr y\ge 0}\)所圍成之區域的外接圓直徑為20，則\(n=\)　　　。
[解答]
設 \( A(5\sqrt{3},5)\) 為 \(x-my=n\) 和 \(x-\sqrt{3}y=0\) 軸的交點
設 \(B(n,0)\) 為 \(x-my=n\) 和 \(x\) 軸的交點
由 \(\displaystyle 20=\frac{\overline{AB}}{\sin{30^{\circ}}}\) 得 \(\overline{AB}=10\)
\(\overline{AB}^{2}=(5\sqrt{3}-n)^{2}+5^{2}=10^{2}\)
\(n=10\sqrt{3} \vee 0\) (\(0\)不合)

感謝大大解答

補充

不好意思，
第十題
請問要如何令bn，是如何得知要從何令起的


還有請問第13題的
(x−1)^2+(y−2)^2=4 是如何找出的呢?

謝謝您!

10.
一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴式\(\cases{a_1=1\cr a_n=2a_{n-1}+2^n(n>1)}\)，試求一般式\(a_n=\)　　　。
[解答]
策略是將 \(2^n\) 有效的分配給 \(a_n\) 和 \(a_{n-1}\) 使分配後的數列為等比數列
若設 \(b_{n}=a_{n}+k\cdot 2^n\) 會發現無論 \(k\) 為何值 \(2^n\) 都會被抵銷
想要留下 \(2^n\) 勢必要在 \(2^n\) 前面乘上一個當 \(n\) 下降 \(1\) 而整個式子右邊會多 \(2^n\) 的東西
所以選擇乘 \(-n\)
因此 \(a_{n}-n\cdot 2^n =2[a_{n-1}-(n-1)\cdot 2^{n-1}]\)

13.
坐標平面上，在圓\(\Gamma\)：\(x^2+y^2=4\)上取兩點\(A\)、\(B\)，使此兩點在\(x\)軸上方，且摺回劣弧\(AB\)使其恰與\(x\)軸相切於\((1,0)\)，則直線\(\overline{AB}\)的直線方程式為　　　。
[解答]
考慮 \(x^2+y^2=4\) 對稱折線的圓與 \(x\) 軸相切於 \((1,0)\)
因為圓半徑為 \(2\) 且與 \(x\) 軸相切且在 \(x\) 軸上方
所以圓心為 \((1,2)\)
即此圓為 \((x-1)^2+(y-2)^2=4\)

6.
若\(a\)，\(b\)，\(c\)表\(\Delta ABC\)之三邊長，且\(a\)，\(b\)，\(c\)為方程式\(x^3-10x^2+44x-14=0\)的三根，則\(\Delta ABC\)的面積為　　　。
[解答]
s=(a+b+c)/2=10/2=5 , 所求=ㄏ(s*f(s))=ㄏ(5*81)=9ㄏ5

填充 7.
一個凸四邊形\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}=8\)，\(\overline{BC}=6\)，\(\overline{CD}=5\)，且\(\angle ADC=\angle ABC=90^{\circ}\)，則內積\(\vec{BC}\cdot \vec{AD}=\)　　　。
[解答]
連AC長10 , AD=5ㄏ3 , 設 DA交CB 於E ,ACD=60度
所求=6* 5ㄏ3*cos(DEC)=30ㄏ3*sin(ACB+60度)
　　 =30ㄏ3*(8/10*1/2+6/10*(ㄏ3)/2)=27+12ㄏ3

填充 8.
箱子裡有3個1號球，3個2號球，3個3號球，\(\ldots\)，3個22號球，共66個球。隨機從箱中取球，一次取1球，取後不放回，取3次，其值依序為\(x_1,x_2,x_3\)，則\(x_1<x_2<x_3\)的機率為　　　。
[解答]
C(22,3)*3^3/P(66,3)=63/416

填充 10.
一數列\(\langle\;a_n\rangle\;\)滿足遞迴式\(\cases{a_1=1\cr a_n=2a_{n-1}+2^n(n>1)}\)，試求一般式\(a_n=\)　　　。
[解答]
a1=1                   ......(1)
a2= 2a1+2^2       ......(2)
.......................
an= 2a(n-1)+2^n  ......(n)
(1)*2^(n-1)+(2)*2^(n-2)+......+(n)*2^(n-n) => an=2^(n-1)+2^n+2^n+.....2^n=(2n-1)*2^(n-1)

謝謝czk0622老師!

受益匪淺，受教了，又學到了新的東西~

最近再做一次，忽然想到第6題似乎出錯了

6.
\(a,b,c為三角形三邊長，且a,b,c為x^3-10x^2+44x-14=0的三根\)

設\(f(x)=x^3-10x^2+44x-14\)，則\(f'(x)=3x^2-20x+44\)
又\(f'(x)=3x^2-20x+44=0的判別式D=20^2-4*3*44<0\)
故\(f(x)\)在實數上無導數為0之處，
則\(x^3-10x^2+44x-14=0\)只有一實根，與\(邊長a,b,c\)為其三根不合

照這個題意，邊長不會是虛數