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填題 9.
相機的影像是光線投射在一片長方形的感光元件(CMOS)上，再轉換為電子訊號儲存在記憶體中，我們看到的相片為由此感光元件接收到之光線所呈現。已知相機在拍攝時，因為光線的折射與感光元件等因素會導致影像變形。假設有一款手機上的相機，在初始設計上影像會產生線性變形，即照片上的影像為真實影像產生旋轉、伸縮、推移等線性變換。如右圖，為了校正此變形，設定一個座標平面上的正方形 ABCD，其中O為原點，A(1,0)、B(1,1)、C(0,1)，以此相機拍攝此正方形後，相片上呈現平行四邊形OA'B'C'影像，其中A、B、C分別變換至A'、B'、C'，且\displaystyle A'\left(\frac{24}{25},\frac{7}{25}\right)、\displaystyle C'\left(\frac{-1}{7},1\right)。工程師發現此變形是影像先產生沿x軸方向的推移變換，然後再以原點O 為中心旋轉\theta角所導致，於是工程師利用軟體將照片上的影像坐標先旋轉-\theta角，再經由一個二階方陣M線性變換為正確的影像坐標，則此方陣M為 。
[解答]
依題意知 \theta 為銳角，且 \cos \theta = \frac 7{25}
將 C' 轉 -\theta 回去，即 \begin{pmatrix}\displaystyle \frac{24}{25} & \frac{7}{25}\\
-\frac{7}{25} & \frac{24}{25}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\frac{1}{7}\\
\:1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{7}\\
1
\end{pmatrix}
故，原沿 x 軸方向的推移，將 C(0,1) 推至 (\frac{1}{7},1) ，故此推移矩陣為 \begin{pmatrix}\displaystyle1 & \frac{1}{7}\\
0 & 1
\end{pmatrix} ，其反方陣為 \begin{pmatrix}\displaystyle 1 & \frac{-1}{7}\\
0 & 1
\end{pmatrix}
填充 14.
假設地球是完美的球形，沿著北緯60^{\circ}線將地球剖成兩塊，若小塊的體積；大塊的體積比\displaystyle =1:\frac{(a+b\sqrt{3})^2}{c}，其中a,b,c\in N，且c為質數。求數組(a,b,c)= 。
[解答]
依題意
\displaystyle \frac{(a+b\sqrt{3})^{2}}{c}=\left(\int_{-2}^{\sqrt{3}}4-x^{2}dx\right)/\left(\int_{\sqrt{3}}^{2}4-x^{2}dx\right)
計算積分得 \displaystyle \int_{-2}^{\sqrt{3}}4-x^{2}dx=3\sqrt{3}+\frac{16}{3}, \int_{\sqrt{3}}^{2}4-x^{2}dx=-3\sqrt{3}+\frac{16}{3}
故 \displaystyle \frac{(a+b\sqrt{3})^{2}}{c} = \frac{16+9\sqrt{3}}{16-9\sqrt{3}} = \frac{(16+9\sqrt{3})^{2}}{256-243} = \frac{(16+9\sqrt{3})^{2}}{13}
故 (a,b,c) = (16,9,13)
