國中部資優數學缺

2.
設f(x)=2x+22x−2，求2020n=1f(n1010)= 　　　。
[提示]
f(x)+f(2−x)=0

3.
求limnnk=17k+6k(k+1)(k+2) 之值為　　　。
[提示]
待定係數法
設7k+6k(k+1)(k+2)=ak+bk(k+1)−a(k+1)+b(k+1)(k+2)，得a=7b=3

7k+6k(k+1)(k+2)=7k+3k(k+1)−7k+10(k+1)(k+2)

設7k+3k(k+1)=ka−bk+1，得a=3b=−4

7k+3k(k+1)=k3+4k+1

設7k+10(k+1)(k+2)=ak+1−bk+2，得a=3b=−4

7k+10(k+1)(k+2)=3k+1+4k+2

7k+6k(k+1)(k+2)=7k+3k(k+1)−7k+10(k+1)(k+2)=k3+4k+1−3k+1+4k+2=k3−3k+1+4k+1−4k+2 
(我的教甄準備之路　裂項相消，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678)

求值：k=11k3+8k2+15k= 　　　。
(106全國高中聯招，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2769&page=2#pid17282)

4.
設A表質因數為2或3或5的所有正整數所形成的集合。集合A中，所有元素的倒數之和為無窮級數
21+31+41+51+61+81+91+110+112+115+116+118+120+，求此級數的總和為　　　。
(請化至最簡分數，否則不予計分)


設A表質因數至多為2或3或5的所有正整數所形成的集合。A中所有元素的倒數之和為無窮級數
11+21+31+41+51+61+81+91+110+112+115+116+118+120+
若此總和可以表示為nm，其中mn為互質的正整數，則m+n=？
(A) 16　　(B) 17　　(C) 19　　(D) 23　　(E) 36
(2018AMC12A，https://math.pro/db/thread-2917-1-1.html)

5.
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
　　☐☐☐☐
一個房間的地面是由24個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或☐☐。則用12塊磁磚舖滿房間地面的方法有　　　的舖法。

☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐
☐☐
一個房間的地面是由12個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或☐☐。則用6塊磁磚撲滿房間地面的方法有　　　種。
(103學測，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1793&page=1#pid9544)

☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐
　　☐☐
　　☐☐
一個房間的地面是由16個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或☐☐。則用8塊磁磚舖滿房間地面的方法有　　　種。
(臺中區國立高中104 學年度第二次學測模擬考，https://math.pro/db/redirect.php ... amp;goto=nextoldset)

11.
若xyz，解x+y+z=10x2+y2+z2=38x3+y3+z3=154，求數對(xyz)=　　　。
(我的教甄準備之路　利用根與係數的關係解聯立方程式，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076)

12.
設數列an=1+12+13++1n，求limnann=　　　。
https://math.pro/db/thread-156-1-1.html

計算證明題
1.
數列\langle\;a_n\rangle\;滿足a_1=1、\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})，求此數列的一般項a_n。
[解答]
令b_n=\sqrt{1+24a_n}，則\displaystyle a_n=\frac{1}{24}(b_n^2-1)
故\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{24}(b_{n+1}^2-1)，代入\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})得
\displaystyle \frac{1}{24}(b_{n+1}^2-1)=\frac{1}{16}[1+4\cdot \frac{1}{24}(b_n^2-1)+b_n]即4b_{n+1}^2=(b_n+3)^2
因為b_n=\sqrt{1+24a_n}\ge 0，故b_{n+1}=\sqrt{1+24a_{n+1}}\ge 0則2b_{n+1}=b_n+3，即\displaystyle b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+\frac{3}{2}
可化為\displaystyle b_{n+1}-3=\frac{1}{2}(b_n-3)，
所以\{\;b_n-3 \}\;是以b_1-3=\sqrt{1+24a_1}-3=\sqrt{1+24 \cdot 1}-3=2為首項，以\displaystyle \frac{1}{2}為公比的等比數列，
因此\displaystyle b_n-3=2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}，則\displaystyle b_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}+3，即\displaystyle \sqrt{1+24a_n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2}+3，
得\displaystyle a_n=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^n+\left(\frac{1}{2}\right)^n+\frac{1}{3}。
其他方法請見
求遞推數列通項公式的十種策略例析，https://math.pro/db/attachment.p ... 34&t=1593040418

111.4.19補充
111高雄女中也考相同題目，https://math.pro/db/thread-3624-1-1.html

類似題
數列\langle\;a_n\rangle\;滿足a_1=1,a_{n+1}=1+a_n+\sqrt{1+4a_n}(n\ge 1)，
而數列\langle\;b_n\rangle\;定義為b_n=\sqrt{1+4a_n}。
(1)問：數列\langle\;b_n\rangle\;為何種數列？
(2)求數列\langle\;a_n\rangle\;的一般項公式。
(105高中數學能力競賽　北一區(花蓮高中)筆試一試題，https://math.pro/db/thread-2608-1-1.html)

3.
投擲兩粒公正的骰子，當點數和為7時，可得100元獎金，並取得繼續投擲的權利，若第二回又擲出點數和為7，可再得100元並可繼續投擲，如此繼續進行，設X 表示此人所得獎金數，試求：
(1)E(X)=？
(2)Var(X)=？

雅妮參加擲骰子比賽，遊戲規則如下：每次投擲二顆相同的公正骰子，
(1)若擲出點數和為7點，可得獎金100元，並可以繼續投擲；若再擲出點數和為7點，則再得100元，並可以繼續投擲，以此類推，
(2)若擲出點數和不是7點，則得30元，並結束比賽。
則雅妮參賽的獎金期望值為　　　。
thepiano解題，http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3012
(102文華高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1579&page=5#pid7975)

填充第 5 題，等高手來解
其餘答案請參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=3210
有錯請指正

填充第 5 題
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
☐☐☐☐☐☐☐☐☐☐
　　☐☐☐☐
一個房間的地面是由24個正方形所組成，今想用長方形磁磚舖滿地面，已知每一塊長方形磁磚可以覆蓋兩個相鄰的正方形，即☐☐或\matrix{☐\cr ☐}。則用12塊磁磚舖滿房間地面的方法有　　　的舖法。
[解答]
圖 A，有 89 種排法
圖 B，有 5 * 5 = 25 種排法
圖 C，有 2 * 5 = 10 種排法
圖 D，有 2 * 13 = 26 種排法
圖 E，有 2 * 5 = 10 種排法
合計 89 + 25 + 10 + 26 + 10 = 160 種排法
不知有無遺漏 ......

請教6.7.10

第 6 題
\cases{109(x-1)^3+2020x=4149 \cr 109(x^2-2x-1)^3+2020(x^2-2x)=-109}之實數解為　　　。
[解答]
從第一條式子，可看出一實根 2，代入第二式也符合
函數f\left( x \right)=109{{\left( x-1 \right)}^{3}}+2020x-4149嚴格遞增
故僅有一實根2


第 7 題
\Delta ABC中，若\overline{AB}=\overline{AC}，∠A=40^{\circ}，且P為\overline{AB}
邊上的一點使得∠APC=120^{\circ}，求\displaystyle \frac{\overline{AP}}{\overline{BC}}=　　　。
[解答]
令\overline{BC}=1，所求為\overline{AP}
\begin{align}   & \frac{\overline{AP}}{\sin \angle ACP}=\frac{\overline{AC}}{\sin \angle APC} \\ & \frac{\overline{AP}}{\sin 20{}^\circ }=\frac{\overline{AC}}{\sin 120{}^\circ } \\ &  \\ & \frac{\overline{AC}}{\sin \angle ABC}=\frac{\overline{BC}}{\sin \angle BAC} \\ & \frac{\overline{AC}}{\sin 70{}^\circ }=\frac{1}{\sin 40{}^\circ } \\ &  \\ & \overline{AP}=\frac{\sin 70{}^\circ \sin 20{}^\circ }{\sin 120{}^\circ \sin 40{}^\circ }=\frac{\cos 20{}^\circ \sin 20{}^\circ }{\sin 120{}^\circ \times 2\cos 20{}^\circ \sin 20{}^\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{align}

第 10 題
給定坐標平面上四點A(0,0)、B(3,-2)、C(6,0)、D(5,2)及直線L。若直線L剛好同時將兩個三角形\Delta ABC、\Delta ADC面積平分，且與\overline{AC}相交於E點，求E點坐標為　　　。
[解答]
直線L和\overline{AD}交於F\left( a,\frac{2}{5}a \right)，和\overline{AB}交於G\left( b,-\frac{2}{3}b \right)
\begin{align}   & \Delta ACD=\Delta ACB=6,\Delta AEF=\Delta AEG=3 \\ & \frac{2}{5}a=\left| -\frac{2}{3}b \right| \\ & b=\frac{3}{5}a \\ & \overline{AE}=\frac{a+b}{2}=\frac{4}{5}a \\ &  \\ & \Delta AEF=\frac{4}{5}a\times \frac{2}{5}a\times \frac{1}{2}=3 \\ & a=\frac{5}{2}\sqrt{3} \\ & E\left( 2\sqrt{3},0 \right) \\ \end{align}

請問填充4是否還需要減1,想法是題目不包含加1,所以我是算11/4

您是對的，這題是 2018 AMC 12 的題目，原題有 1，這題沒有

感謝