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109中科實中國中部

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回復 6# thepiano 的帖子

謝謝鋼琴大

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想請教一下填充13、計算證明2
(填充13僅想到要偏微分找切線斜率為0的切點,但總覺得有更好的方法)

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回復 12# abc409212000 的帖子

計算證明第 2 題
設\(x\)、\(y\)、\(z\)皆為正實數,試證:\(\displaystyle \sqrt{xy(x+y)}+\sqrt{yz(y+z)}+\sqrt{zx(x+z)}\le \frac{3}{2}\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\)。

107 台中女中考過,請參考 cefepime 老師的妙解
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=2950&page=3#pid18481

小弟的解法如下:
http://www.shiner.idv.tw/teachers/download/file.php?id=2853

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回復 13# thepiano 的帖子

謝謝thepiano老師,做過又忘記,計算2已清楚了!

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想請問填充第1題

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回復 15# enlighten 的帖子

第1題
求\(17^5+18\)的所有正質因數總和為   
[解答]
\(\begin{align}
  & {{x}^{5}}+x+1 \\
& ={{x}^{5}}-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+x+1 \\
& ={{x}^{2}}\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+\left( {{x}^{2}}+x+1 \right) \\
& =\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{3}}-{{x}^{2}}+1 \right) \\
\end{align}\)

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回復 16# thepiano 的帖子

謝謝,想再請問第13題

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回復 17# enlighten 的帖子

第13題
複數平面上,若複數\(z\)滿足\(|\;z+1-2i|\;-|\;z-5-10i|\;=8\),則\(z\)為到實軸的最近距離為   
[解答]
複數平面上到 (-1,2) 和到 (5,10) 的距離差為 8
圖形為雙曲線\(\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}-\sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}+{{\left( y-10 \right)}^{2}}}=8\)的右支
上式可化簡為\(7{{x}^{2}}-24xy+116x+48y-116=0\)
它的右支會與\(y=6+\sqrt{7}\)相切

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想請問計算證明3(2),謝謝。

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回復 19# koeagle 的帖子

投擲兩粒公正的骰子,當點數和為7時,可得100元獎金,並取得繼續投擲的權利,若第二回又擲出點數和為7,可再得100元並可繼續投擲,如此繼續進行,設\(X\)表示此人所得獎金數,試求:
(1)\(E(x)=\)?
(2)\(Var(x)=\)?
[解答]
使用\(Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 \)
\(E(X^2) \)用兩次差比級數應該能做得出來

算了一下
\(\displaystyle E(X^2)=100^2\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}+200^2\times (\frac{1}{6})^2\times \frac{5}{6}+300^2\times (\frac{1}{6})^3\times \frac{5}{6}+\cdots \)
\(\displaystyle\frac{1}{6}E(X^2)=100^2\times (\frac{1}{6})^2\times \frac{5}{6}+200^2\times (\frac{1}{6})^3\times \frac{5}{6}+300^2\times (\frac{1}{6})^4\times \frac{5}{6}+\cdots \)
相減得\(E(X^2)=100(100\times \frac{1}{6}+300(\frac{1}{6})^2+500\times (\frac{1}{6})^3+...)\)

再用一次差比可求出\(S=100\times \frac{1}{6}+300(\frac{1}{6})^2+500\times (\frac{1}{6})^3+...)=28\)
因此\(E(X^2)=2800\)

又\(E(X)=20 \)
所求\(Var(X)=2800-20^2=2400 \)

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