填充題
4.
\(\Delta ABC\)中，若\(\overline{AB}=9\)，\(\overline{BC}=10\)，\(\overline{CA}=11\)，且內切圓切\(\overline{BC}\)於\(D\)，求\(\overline{AD}\)的長度為　　　。

已知\(\Delta ABC\)之內切圓切\(\overline{BC}\)於\(D\)，若\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{BC}=6\)，\(\overline{CA}=5\)，則\(\overline{AD}\)長為　　　。
(101國立清水高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1393&page=3#pid6239)

9.
已知正方形\(ABCD\)的兩頂點\(A\)、\(B\)在直線\(y=2x-22\)上，另外兩頂點\(C\)、\(D\)在拋物線\(y=x^2\)上，試求此正方形的面積為　　　。

已知正方形\(ABCD\)，其中兩頂點\(A\)、\(B\)在直線\(y=2x-7\)，另外兩頂點\(C\)、\(D\)在拋物線 \(y=x^2\)上，試求此正方形的面積。
(103金門高中，https://math.pro/db/thread-2002-1-1.html)

這裡有解答
已知正方形\(ABCD\)的兩頂點\(A,B\)在拋物線\(y^2=x\)上，且\(C,D\)在直線\(L\)：\(y=x+4\)上求正方形的面積?
(99中壢高中，https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1005&page=1#pid2436)


計算與證明題
2.
將長方形\(ABCD\)沿著對角線\(AC\)摺起，使\(ABC\)平面與\(ADC\)平面互相垂直，若\(\overline{AB}=a\)，\(\overline{BC}=b\)，試求\(\overline{BD}\)之長。

一張長方形的紙\(ABCD\)，沿著對角線\(\overline{AC}\)摺起，使平面\(ABC\)與平面\(ACD\)互相垂直。若\(\overline{AB}=\sqrt{3}\)，\(\overline{BC}=1\)，則\(\overline{BD}=\)　　　。
(101國立清水高中，https://math.pro/db/thread-1393-1-1.html)

將一塊邊長\(\overline{AB}=a\)公分\((a>0)\)、\(\overline{BC}=b\)公分\((b>0)\)的長方形鐵片\(ABCD\)沿對角線\(\overline{BD}\)對摺後豎立，使得平面\(ABD\)與平面\(CBD\)垂直，則\(A\)、\(C\)兩點(在空間的距離\(\overline{AC}=\)　　　。
(107松山工農，https://math.pro/db/thread-2972-1-1.html)

請問老師一下,第十題的過程是不是哪裡我觀念錯了?

10.
設\(\left[\matrix{a&b \cr c&d}\right]\left[\matrix{p&q \cr r&s}\right]=\left[\matrix{5&3 \cr 3&2}\right]\)，其中聯立方程式\(\cases{ax+by=5 \cr cx+dy=-3}\)恰有一組解為\((x,y)=(1,2)\)，試求聯立方程式\(\cases{pu+qv=1 \cr ru+sv=2}\)的解\((u,v)=\)　　　。

因\(\left[\matrix{a&b \cr c&d}\right]\left[\matrix{p&q \cr r&s}\right]=\left[\matrix{5&3 \cr 3&2}\right] \Rightarrow \left[\matrix{a&b \cr c&d}\right]=\left[\matrix{5&3 \cr 3&2}\right]\left[\matrix{p&q \cr r&s}\right]^{-1}\Rightarrow \left[\matrix{2&-3 \cr -3&5}\right]\left[\matrix{a&b \cr c&d}\right]=\left[\matrix{p&q \cr r&s}\right]^{-1}\ldots(*)\)
\((*)\)左右同時作用在\(\left[\matrix{1 \cr 2}\right]\Rightarrow \left[\matrix{2&-3 \cr -3&5}\right]\left[\matrix{a&b \cr c&d}\right]\left[\matrix{1 \cr 2} \right]=\left[\matrix{p&q\cr r&s}\right]^{-1}\left[\matrix{1 \cr 2} \right]\)，因為\(\left[\matrix{a&b \cr c&d}\right]\left[\matrix{1 \cr 2} \right]=\left[\matrix{5 \cr -3} \right]\)
所以得到\(\left[\matrix{2&-3 \cr -3&5}\right]\left[\matrix{5 \cr -3} \right]=\left[\matrix{p&q \cr r&s}\right]^{-1}\left[\matrix{1 \cr 2} \right]\Rightarrow \left[\matrix{1 \cr 0} \right]=\left[\matrix{p&q \cr r&s}\right]^{-1}\left[ \matrix{1 \cr 2} \right]\Rightarrow \left[\matrix{p&q \cr r&s}\right]\left[\matrix{1 \cr 0} \right]=\left[\matrix{1 \cr 2} \right]\)
\((u,v)=(1,0)\)

只是小計算錯誤而已，倒數第二行的矩陣乘法，乘開後不是 (1,0)，是 (19, -30) 。

好的,謝謝weiye老師,真是太蠢了

老師好，想要請問第5題怎麼證明

計算與證明 第5題
設\(n\)為正整數，試證：\(\displaystyle (C_0^n)^2+(C_1^n)^2+(C_2^n)^2+\ldots+(C_n^n)^2=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\)。
pf :

謝謝 Lopez老師，明白了！