填充15
設 Sn=nk=12kk(k+1)，S=k=12kk(k+1)=limnSn
Sn=nk=12kk(k+1)
    =nk=12k−1C2k+1
    =20C22+nk=22k−1C2k+1
    =20C11+nk=22k−1C1k+C2k
    =20C11+nk=2C1k2k−1+nk=2C2k2k−1
    =nk=1C1k2k−1+n−1k=12kC2k+1
    =nk=1k2k−1+21Sn−1
limnSn=k=1k2k−1+21limnSn−1
S=k=1k2k−1+21S
因此 S=2k=1k2k−1
設 k=1k2k−1=L
  L=1(21)0+2(21)1+3(21)2+
21L=               1(21)1+2(21)2+3(31)2+
上下相減得
21L=1+(21)1+(21)2+(21)3+
     =11−05
     =2
L=4
S=2L=8

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-4-30 05:58 編輯 ]

#15另解~

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2019-4-29 23:01 編輯 ]

請問公告版的第4題
這題當初列出的式子 Pn=2/3-(1/3)Pn-1

第4題
用馬可夫矩陣的方法

532+532=516

[ 本帖最後由 czk0622 於 2019-4-30 10:20 編輯 ]

我是這麼算的，用轉移矩陣

謝謝兩位老師
可以請問你們要怎麼分辨要用矩陣還是數列呢?
這題如果用數列來做可行嗎?

第 4 題
設交換n次後，甲袋內兩顆球的和為偶數的機率為pn
\begin{align}   & {{p}_{n}}\text{=}{{p}_{n-1}}\times 0+\left( 1-{{p}_{n-1}} \right)\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{{p}_{n-1}} \\ & {{p}_{0}}=1 \\ & {{p}_{1}}=0 \\ & {{p}_{2}}=\frac{1}{2} \\ & {{p}_{3}}=\frac{1}{4} \\ & {{p}_{4}}=\frac{3}{8} \\ & {{p}_{5}}=\frac{5}{16} \\ \end{align}

[ 本帖最後由 thepiano 於 2019-4-30 12:38 編輯 ]

另解:
    n(n+1)/2^n=(1+2+3+.......+n)/2^(n-1)  ,  n=1,2,3,4,........
所求=[(1/2^0+1/2^1+1/2^2+.....)+(1/2^1+1/2^2+.....)+(1/2^2+.....)+.......]/(1-1/2)
                                      (  [............ ]為各取一個的第一回合,而第二回合所取之值是第一回合的一半,公比=1/2,取無限多回合 )
       =[2+1+1/2+.....]*2=4*2=8

[ 本帖最後由 laylay 於 2019-4-30 15:58 編輯 ]

填充 15.
另解 :   所求/4=1+[(1+x)/2]+[(1+x)/2]^2+[(1+x)/2]^3+.......中 x^2 的係數
                       =1/[1-(1+x)/2]=2/(1-x)=2(1+x+x^2+....)中 x^2 的係數
                       =2  , 故所求=8

若原題中分子改為n(n+1)(n+2) ,分母不變
則  所求/(2*3*2^2)=1+[(1+x)/2]+[(1+x)/2]^2+[(1+x)/2]^3+[(1+x)/2]^4+.......中 x^3 的係數
                         =1/[1-(1+x)/2]=2/(1-x)=2(1+x+x^2+....)中 x^3 的係數
                         =2  , 故所求=48
若原題中分子改為n(n+1)(n+2)(n+3) ,分母不變 , 則所求=2*3*4*2^3*2=384
若原題中分子改為n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) ,分母不變 , 則所求=5!*2^5 ,  即分子有k個數時 , 所求=k!*2^k   (此結論經由Excel 驗證，無誤)

[ 本帖最後由 laylay 於 2019-4-30 21:35 編輯 ]

請問填7

真的有五的點！

謝謝鋼琴老師。

[ 本帖最後由 mojary 於 2019-5-6 15:48 編輯 ]