選擇10
10.
集合\({1,2,3,\ldots,60}\)的子集合\(S\)，其中\(S\)滿足任兩個元素的和不為7的倍數，則\(n(S)\)的最大值為
(1)6　(2)17　(3)14　(4)27　(5)28
[解答]
1~60的整數裡面分成7類
7K:8個
7K+1，7K+2，7K+3，7K+4皆9個
7K+5，7K+6皆8個
容易判斷出至少取7K+1，7K+2，7K+3 共27個可滿足題意
此時再配上7K裡面的任意一個數，即可有最大值共28個


填充11
已知\(x^3-3x+1=(x-2cos\alpha)(x-2cos\beta)(x-2cos\gamma)\)，且\(0^{\circ}<\alpha<\beta<\gamma<180^{\circ}\)，試求\(sin(\gamma-\alpha)\)之值=　　　。
[解答]
2cosA，2cosB，2cosC代入方程式，可得cos3A=-1/2 (B，C同理)

所以3A=120度，240度，480度
A=40度，80度，160度
再依序排列得到C=160，A=40
所求為sin120度

選擇5
5.
四個正整數\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)的乘積為\(8!\)且滿足\(\cases{ab+a+b=524 \cr bc+b+c=146 \cr cd+c+d=104}\)，請問\(a-d=\)
(1)12　(2)10　(3)8　(4)6　(5)4
[解答]
ab+a+b+1=525
即(a+1)(b+1)=525
同理得(b+1)(c+1)=147
           (c+1)(d+1)=105
b+1是525和147的公因數 其中gcd(525，147)=21
發現b+1=21，c+1=7，d+1=15，a+1=25
b=20=4*5
c=6=6
d=14=2*7
a=24=8*3
abcd剛好為8!
故所求a-d=10

請教填充14.19.20.25.26.28

填充第 14 題
設\(a\)、\(b\)、\(c\)、\(x\)、\(y\)、\(z\)均為實數，若\(a^2+b^2+c^2=1\)，\(x^2+y^2+z^2=4\)，則\(\Bigg|\;\matrix{a+b&b+c&a+c\cr x+y&y+z&x+z \cr 3&4&3}\Bigg|\;\)的最大值為　　　。
[解答]
參考 http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=27713#p27713

第19題
設兩複數\(\displaystyle z_1=cos\frac{\pi}{3}+isin\frac{\pi}{3}\)，\(\displaystyle z_2=cos \frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}\)，若\(z_3=z_1 \cdot z_2\)，\(\displaystyle z_4=\frac{z_1}{z_2}\)且\(a\)為實數，則\(|\;a-z_3|\;+|\;a-z_4|\;\)之最小值為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & {{z}_{3}}=\cos \frac{7}{12}\pi +i\sin \frac{7}{12}\pi  \\
& {{z}_{4}}=\cos \frac{1}{12}\pi +i\sin \frac{1}{12}\pi  \\
\end{align}\)
它們是高斯平面單位圓上的兩點
所求即x 軸上一點，到此兩點距離和之最小值

第20題
大於\((\sqrt{3}+\sqrt{2})^6\)的最小整數為　　　。
[解答]
考慮\({{\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)}^{6}}+{{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{6}}\)
而\({{\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)}^{6}}\)很接近0

第25題
設\(\alpha\)為方程式\(\displaystyle log_{107}x=-x+3\)的實根，\(\beta\)為方程式\(107^x=-x+3\)的實根。則\((log_{107}\alpha)+107^{\beta}\)之值為　　　。
[提示]
畫出\(y={{\log }_{107}}x\)、\(y={{107}^{x}}\)、\(y=-x+3\)之圖形
前兩者對稱於\(y=x\)
……


第26題
設\(\displaystyle a=\root 3\of{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\)，則\(a^6-9a^2-18a-4\)之值為　　　。
[提示]
\({{a}^{3}}=3+3a\)
……


第28題
試求最接近於\(\displaystyle 1000\sum_{n=3}^{10000}\frac{1}{n^2-4}\)之整數為三位數\(abc\)，則\(a+b+c=\)　　　。
[提示]
\(\displaystyle \frac{1}{{{n}^{2}}-4}=\frac{1}{4}\left( \frac{1}{n-2}-\frac{1}{n+2} \right)\)，再相消

感謝各位這份練習過