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106木柵高工(第二次)

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回復 14# goodluck 的帖子

您好:

小弟只是舉一個符合題目條件的\(f\left( x \right)\),但在求\(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}\)時,不適用羅必達法則的例子。

如果您覺得沒有循環論證的問題,那就沒有吧!

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回復 14# goodluck 的帖子

第 6 題,還有另一個問題

求極限,本來就知道 \( f'(x) \) 的局部性質,

是求極限,不是求函數值。不連續的函數,此二者是不同的,因此不能隨意用函數值替代極限,除非知道是連續函數,或該局部連續。

也就是此計算還用了 \( f'(x) \) 在 \( x=0 \) 處連續的非已知條件

反例如下:

\( f(x)=x+x^{2}\sin\frac{1}{x} \), 以定義檢查可知 \( f'(0)=1 \)

\( f'(x)=1+2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}, \lim\limits _{x\to0} \frac{f'(x)}1 \) 不存在
文不成,武不就

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回復 8# tsusy 的帖子

此題,即「雙週一題102學年度第一學期第三題」。

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回復 22# tsusy 的帖子

這個反例好像有點問題

\(f(x) = x + {x^2}\sin (\frac{1}{x})\)在x=0的地方沒有定義,不符合f(0)=0的題目條件
千金難買早知道,萬般無奈想不到

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回復 24# jackyxul4 的帖子

我忘了另外 定義 \( f(0)=0 \)
\( x\neq 0  \) 時,\( f(x) = x + x^2 \sin \frac1x \)
文不成,武不就

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