請問老師,這題的f ' (0)=1 是已知條件
這樣還會有循環論證的問題嗎?

在證明\({{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\)時，會用到\(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1\)
而\(\cos 0=1\)，故有循環論證的問題

老師您好
我的意思是,這題的 f ' (0)=1是已知條件
所以不需要證明 f ' (x)是什麼函數,
題目已知f ' (0)=1
那這還會有循環論證的問題嗎?

已知有理數\(\displaystyle k=\frac{11\times26+12\times27+13\times28+14\times29+15\times30}{11\times25+12\times26+13\times27+14\times28+15\times29}\)，求\(100k\)的整數部分。
[解答]
令n=13
則 k=1+n/(2n^2+n+2)=1+1/(2n+1+2/n)=1+1/27.1...=1.036....
[100k]=103
[1000k]=1036

1.
已知有理數\(\displaystyle k=\frac{11\times26+12\times27+13\times28+14\times29+15\times30}{11\times25+12\times26+13\times27+14\times28+15\times29}\)，求\(100k\)的整數部分。
[另解]
觀察到 k 是由 26/25，27/26，28/27，29/28，30/29 這五個值，分子分母分別相加後所得。

故: 26/25 > k > 30/29  (我覺得可視之為 "糖水不等式" 的推廣; 或用代數證明亦不難)

⇒ 104 > 100k > 103.∙∙∙

⇒ 所求 = 103

求所有的整數\(k\)，使得\(6k^2-7k-5\)為某個質數的平方。
[解答]
原式=(3k-5)(2k+1)=P^2
=> 3k-5, 2k+1=+-1 都不合
或 3k-5=2k+1=> k=6 , P=13(合)

求多項式\(f(x)=x^{2006}-x^{2004}-x^{2002}-\ldots-x^2-2\)的所有實根的平方和。
[解答]
f(x)=(x^2006-1)-(x^2004+x^2002+....+x^2+1)=0
=>f(x)(x^2-1)=(x^2006-1)(x^2-1)-(x^2006-1)=(x^2006-1)(x^2-2)=0
=>x=1,-1,ㄏ2,-ㄏ2
但f(x)=0 沒有1,-1的實根
可知f(x)=0 只有ㄏ2,-ㄏ2的實根
=>所求=2+2=4

平面上有一個面積為1的凸四邊形\(ABCD\)，已知\(\overline{AB}// \overline{DC}\)，且對角線\(\overline{AC},\overline{BD}\)交於\(O\)點，求\(\Delta AOD\)面積的最大值。
[解答]
COD與AOB為相似形
設CO=rAO,AOB的面積為a
則AOD的面積=BOC的面積=ra,DOC的面積=rra
=>a(1+r+r+rr)=1=>AOD的面積=ra=r/(1+r+r+rr)=1/(r+1/r+2)<=1/4為所求

\(\Delta ABC\)中，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{BC}=5\)，\(\overline{CA}=7\)，\(P\)為任意一點，試求\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)的最小值。
[解答]
設P(x,y),A(x1,y1)......可知P為重心
=>所求=(4^2+5^2+7^2)/3=30

您好：

小弟只是舉一個符合題目條件的\(f\left( x \right)\)，但在求\(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}\)時，不適用羅必達法則的例子。

如果您覺得沒有循環論證的問題，那就沒有吧！