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106木柵高工(第二次)

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2.
已知\( a,b,c \)為正實數,\( \displaystyle \Bigg\{\ \matrix{a^2+b^2+ab=9 \cr b^2+c^2+bc=16 \cr c^2+a^2+ca=25 } \),求\( a+b+c= \)?
解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=937&page=1#pid2033


11.
試求所有實數\(x\),使得\( \displaystyle x=\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}} \)
解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1492&page=2#pid7156

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回復 5# thepiano 的帖子

請問老師,這題的f ' (0)=1 是已知條件
這樣還會有循環論證的問題嗎?

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回復 12# goodluck 的帖子

在證明\({{\left( \sin x \right)}^{'}}=\cos x\)時,會用到\(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=1\)
而\(\cos 0=1\),故有循環論證的問題

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回復 13# thepiano 的帖子

老師您好
我的意思是,這題的 f ' (0)=1是已知條件
所以不需要證明 f ' (x)是什麼函數,
題目已知f ' (0)=1
那這還會有循環論證的問題嗎?

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1.

令n=13
則 k=1+n/(2n^2+n+2)=1+1/(2n+1+2/n)=1+1/27.1...=1.036....
[100k]=103
[1000k]=1036

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-7-28 14:23 編輯 ]

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1. 另解:

觀察到 k 是由 26/25,27/26,28/27,29/28,30/29 這五個值,分子分母分別相加後所得。

故: 26/25 > k > 30/29  (我覺得可視之為 "糖水不等式" 的推廣; 或用代數證明亦不難)

⇒ 104 > 100k > 103.∙∙∙

⇒ 所求 = 103

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4.

原式=(3k-5)(2k+1)=P^2
=> 3k-5, 2k+1=+-1 都不合
或 3k-5=2k+1=> k=6 , P=13(合)

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-7-28 13:23 編輯 ]

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3.

f(x)=(x^2006-1)-(x^2004+x^2002+....+x^2+1)=0
=>f(x)(x^2-1)=(x^2006-1)(x^2-1)-(x^2006-1)=(x^2006-1)(x^2-2)=0
=>x=1,-1,ㄏ2,-ㄏ2
但f(x)=0 沒有1,-1的實根
可知f(x)=0 只有ㄏ2,-ㄏ2的實根
=>所求=2+2=4

[ 本帖最後由 laylay 於 2017-7-28 14:11 編輯 ]

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7.

COD與AOB為相似形
設CO=rAO,AOB的面積為a
則AOD的面積=BOC的面積=ra,DOC的面積=rra
=>a(1+r+r+rr)=1=>AOD的面積=ra=r/(1+r+r+rr)=1/(r+1/r+2)<=1/4為所求

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12.

設P(x,y),A(x1,y1)......可知P為重心
=>所求=(4^2+5^2+7^2)/3=30

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