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106木柵高工(第二次)

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106木柵高工(第二次)

想請教第5題跟第8題,謝謝^_^

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106木柵高工_第二次.pdf (437.41 KB)

2017-7-18 17:24, 下載次數: 346

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回復 1# Christina 的帖子

第 8 題
\(\left| {{a}_{1}}+2{{a}_{2}}+\cdots +n{{a}_{n}} \right|=\left| f'\left( 0 \right) \right|=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x-0} \right|=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{f\left( x \right)}{x} \right|\le \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\sin x}{x} \right|=1\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2017-7-18 18:20 編輯 ]

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第5題
\( \int_0^1 {\int_x^1 {{x^2}\sqrt {1 + {y^4}} dydx}  = \int_0^1 {\int_0^y {{x^2}\sqrt {1 + {y^4}} dxdy} } }  = \int_0^1 {\left( {\frac{1}{3}{x^3}\sqrt {1 + {y^4}} \left| {_0^y} \right.} \right)dy} \)
\( = \frac{1}{3}\int_0^1 {{y^3}\sqrt {1 + {y^4}} dy}  = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}{\left( {1 + {y^4}} \right)^{\frac{3}{2}}}\left| {_0^1} \right. = \frac{{\sqrt 2 }}{9} - \frac{1}{{18}} \)

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各位老師好,想請教一下,第六題是對的嗎?

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回復 4# 袁希睿 的帖子

第 6 題
反例:f(x) = sinx 時,不能用羅必達,會有循環論證的問題

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請問老師 9, 10, 11.

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第9題
令甲贏一場之後獲勝的機率為\( a \),\( a = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} \times 0 + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2} \times a + \frac{1}{2} \times 0} \right)} \right) \)
然後再去討論整個機率應該就可以了
第11題
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1492&page=2#pid7156

[ 本帖最後由 BambooLotus 於 2017-7-18 21:53 編輯 ]

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回復 6# martinofncku 的帖子

10. 假設長方體三個不同方向的邊長分別為 \( a, b, c \)

計算三組歪斜距離可得 \( \frac{bc}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}, \frac{ca}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}}, \frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \)

因對稱性,不妨設

\( \begin{cases}
\frac{bc}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}} & =2\sqrt{5}\\
\frac{ca}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}} & =\frac{30}{\sqrt{13}}\\
\frac{ab}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} & =\frac{15}{\sqrt{10}}
\end{cases} \)

由第一式、第三式可得 \( c^{2}=\frac{20b^{2}}{b^{2}-20}, a^{2}=\frac{45b^{2}}{2b^{2}-45} \)

代入第二式得 \( \frac{20b^{2}}{b^{2}-20}\cdot\frac{45b^{2}}{2b^{2}-45}=\frac{900}{13}\left(\frac{20b^{2}}{b^{2}-20}+\frac{45b^{2}}{2b^{2}-45}\right) \)

左右同乘 \( \frac{13}{900b^2} (b^{2}-20)(2b^{2}-45) \),化簡得

\( 13b^{2}=85b^{2}-1800 \)

故 \( b=5, c=10, a=15 \),體積為 750
文不成,武不就

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9. 想到兩個本質上相同的方法

方法一

令 P(贏),P(輸),與 P(補) 依序表示賽程中,剛贏一局者,剛輸一局者,與遞補者最後獲勝的機率。

則: P(補) = P(贏) /2  ;  P(輸) = P(補) /2

⇒ P(贏) = 4/7,P(補) = 2/7,P(輸) = 1/7

所求 = (1/2)*[ P(贏) + P(輸) ] = 5/14


方法二

令所求 = p,則丙最後獲勝的機率 = 1-2p。

則一局後,甲乙的負方,勝方,與丙,最後獲勝的機率依序為 (1-2p)/2 ; (1/2)+(1-2p)/4 ; 1-2p。

由三者之和 = 1,得 p = 5/14

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各位老師我想要請教一下第二題
原本嘗試過加總回頭消和同除獲同除abc都不見效果
後來有人建議用兩式相減成功提出題目要求的a+b+c的因式
但之後我卻解不出答案
似乎在相減的過程中把條件給刪去了
我把相減後的結果丟給wolffram 一樣也只能求出比例關係
不知道是哪裡出了問題
以下是原式丟給wolffram 和兩兩相減丟給wolffram的連結
http://www.wolframalpha.com/input/?source=frontpage-immediate-access&i=solve%5B%7Ba%5E2%2Bb%5E2%2Ba*b%3D9%7D,%7Bb%5E2%2Bc%5E2%2Bb*c%3D16%7D,%7Bc%5E2%2Ba%5E2%2Bc*a%3D25%7D,%7Bt%3Da%2Bb%2Bc%7D,%7Ba%3E0%7D,%7Bb%3E0%7D,%7Bc%3E0%7D%5D

http://www.wolframalpha.com/input/?source=frontpage-immediate-access&i=solve%5B%7B(c-a)*t%3D7%7D,%7B(a-b)*t%3D9%7D,%7B(c-b)*t%3D16%7D,%7Bt%3Da%2Bb%2Bc%7D,%7Ba%3E0%7D,%7Bb%3E0%7D,%7Bc%3E0%7D%5D

[ 本帖最後由 cut6997 於 2017-7-21 03:26 編輯 ]

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