想請教第5題跟第8題，謝謝^_^

第 8 題
f(x)=a1sinx+a2sin2x++ansinnx，aiRnN且f(x)sinx，xR證明：a1+2a2++nan1
[解答]
a1+2a2++nan=f0=limx0x−0fx−f0=limx0xfxlimx0xsinx=1 

第5題
計算01x1x21+y4dydx 
[解答]
01x1x21+y4dydx  =010yx21+y4dxdy  =0131x31+y4y0dy 
=3101y31+y4dy  =3132411+y42310=92−118 

第 6 題
已知函數f滿足f(0)=0f(0)=1，求limx0xf(x)。某學生作法如下：
∵0f(0)為00不定型，故依羅必達法可得
limx0xf(x)=limx01f(x)=f(0)=1
請問這樣的做法是否正確？若正確是否能有其他解法？若錯誤請舉一反例說明錯誤之處。
[解答]
反例：f(x) = sinx 時，不能用羅必達，會有循環論證的問題

請問老師 9, 10, 11.

第9題
某圍棋賽由實力相當的甲、乙、丙三棋手參加，規則如下：甲、乙先開始，然後敗者退出由丙遞補重新再下第二盤；接著敗者再退出，再由另一人遞補重新再賽。依此規則最後連勝2局者獲勝，試問最後甲獲勝的機率。
[解答]
令甲贏一場之後獲勝的機率為a，a=21+21210+2121a+210 
然後再去討論整個機率應該就可以了

第11題
試求所有實數x，使得x=x−x1+1−x1 。
[解答]
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1492&page=2#pid7156

10.
一長方體內部對角線到三條與他不相交的稜之間的最短距離分別為2530131510，試求此長方體的體積。
[解答]
假設長方體三個不同方向的邊長分別為 abc

計算三組歪斜距離可得 bcb2+c2cac2+a2aba2+b2

因對稱性，不妨設

bcb2+c2cac2+a2aba2+b2=25=3013=1510

由第一式、第三式可得 c2=20b2b2−20a2=45b22b2−45

代入第二式得 20b2b2−2045b22b2−45=1390020b2b2−20+45b22b2−45 

左右同乘 13900b2(b2−20)(2b2−45)，化簡得

13b2=85b2−1800

故 b=5c=10a=15，體積為 750

9.
某圍棋賽由實力相當的甲、乙、丙三棋手參加，規則如下：甲、乙先開始，然後敗者退出由丙遞補重新再下第二盤；接著敗者再退出，再由另一人遞補重新再賽。依此規則最後連勝2局者獲勝，試問最後甲獲勝的機率。
[解答]
想到兩個本質上相同的方法
方法一
令 P(贏)，P(輸)，與 P(補) 依序表示賽程中，剛贏一局者，剛輸一局者，與遞補者最後獲勝的機率。

則: P(補) = P(贏) /2  ;  P(輸) = P(補) /2

⇒ P(贏) = 4/7，P(補) = 2/7，P(輸) = 1/7

所求 = (1/2)*[ P(贏) + P(輸) ] = 5/14


方法二

令所求 = p，則丙最後獲勝的機率 = 1-2p。

則一局後，甲乙的負方，勝方，與丙，最後獲勝的機率依序為 (1-2p)/2 ; (1/2)+(1-2p)/4 ; 1-2p。

由三者之和 = 1，得 p = 5/14

各位老師我想要請教一下第二題
原本嘗試過加總回頭消和同除獲同除abc都不見效果
後來有人建議用兩式相減成功提出題目要求的a+b+c的因式
但之後我卻解不出答案
似乎在相減的過程中把條件給刪去了
我把相減後的結果丟給wolffram 一樣也只能求出比例關係
不知道是哪裡出了問題
以下是原式丟給wolffram 和兩兩相減丟給wolffram的連結
http://www.wolframalpha.com/input/?source=frontpage-immediate-access&i=solve%5B%7Ba%5E2%2Bb%5E2%2Ba*b%3D9%7D,%7Bb%5E2%2Bc%5E2%2Bb*c%3D16%7D,%7Bc%5E2%2Ba%5E2%2Bc*a%3D25%7D,%7Bt%3Da%2Bb%2Bc%7D,%7Ba%3E0%7D,%7Bb%3E0%7D,%7Bc%3E0%7D%5D

http://www.wolframalpha.com/input/?source=frontpage-immediate-access&i=solve%5B%7B(c-a)*t%3D7%7D,%7B(a-b)*t%3D9%7D,%7B(c-b)*t%3D16%7D,%7Bt%3Da%2Bb%2Bc%7D,%7Ba%3E0%7D,%7Bb%3E0%7D,%7Bc%3E0%7D%5D

2.
已知abc為正實數， a2+b2+ab=9b2+c2+bc=16c2+a2+ca=25 ，求a+b+c=？
解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=937&page=1#pid2033


11.
試求所有實數x，使得x=x−x1+1−x1 
解答
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1492&page=2#pid7156