今天剛考的 106 雄女第一題

p和q可以透過琴生不等式得到，但是q和r怎麼比大小呢？
\(
3 < \alpha < \beta < 4
\)
\(
\begin{array}{l}
\displaystyle p = \log _2 \sqrt[3]{{\alpha \beta ^2 }} \\
\displaystyle q = \log _2 \frac{{\alpha + 2\beta }}{3} \\
\displaystyle r= 2^{\frac{{\alpha + 2\beta }}{3} - 3}  \\
\end{array}
\)

令\(x=\frac{\alpha +2\beta }{3}\)
\(\begin{align}
  & 3<x<4 \\
& 1<\frac{\log 3}{\log 2}<q<2 \\
& 1<r<2 \\
\end{align}\)
畫圖可知\(q>r\)

哦哦！原來是看範圍變動判別，謝謝thepiano，小弟一直想說是不是要用其他的不等式來代換
\(
那答案應該是 q > p > r (小弟檔案壓縮，有需要的可以自行調整參數)
\)

小弟不才
想請教q,p什麼時候等號成立?
先跟老師道謝!

根據琴生不等式，等號成立在於
\(
\alpha=\beta=\beta
\)
那應該沒有等號才是！
PS：小弟剛剛僅用GGB檢驗(差距太小，電腦就視為相同值了)，就忘了檢驗等號成立條件，感謝瑋仔的提醒！

其實我也有這個疑惑
因為我覺得應該是不會有等號

eyeready老師客氣了!
另外,其實我是用算幾不等式做的!
對於詹森不等式其實不熟...
還以為是自己考慮的因素太少....
不過,總算解決疑惑了!!
感謝樓上老師們!
(繼續回憶題目去

如附件，希望板友一起補齊，感謝!!!

有一個是証明
\(
用和差角証明\cos 3\theta=4\cos ^3 \theta-3\cos \theta
再用另證再證一次
\)

再一題
\(
給定 y \ge |3x|+|x - 1|+|x - 2|，找目標函數f(x,y) = y - mx在其範圍內，最小值發生在端點上時，m的範圍？
\)


小弟大概記得的就這樣了！

[ 本帖最後由 eyeready 於 2017-4-30 23:15 編輯 ]

第一題log的，q,r 可以用\(\log_2 x\) 和 \(2^{x-3}\)(把\(2^x\)往右平移3單位)去看

當x=3時，\(\log_2 3\,>\,1=2^{3-3}\)

當x=4時，\(\log_2 4\,=\,2=2^{4-3}\)

再稍微畫個圖，p,q,r的大小關係就非常明顯了
如圖，p在紫色線段上　所以　q > p > r　
　
補充兩題：
第6題嗎?
設 \(a_n\) 為費波納係數列\(a_1=1,a_2=1\)，\(i=\sqrt{-1}\)，

試求\(\displaystyle \sum_{k=1}^{2017} i^{2017-a_n}\)
　
第10題?

ABCD為一凸四邊形，設M為兩對角線的交點，P為三角形ADM的重心，Q為三角形BCM的重心，R為三角形ABM的垂心，S為三角形CDM的垂心。
試證　PQ垂直RS