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填充題 6
設直線\(L\)：\(\displaystyle x-1=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-3}{-2}\)，與二平面\(\alpha\)：\(2x-y-z-3=0\)、\(\beta\)：\(x-2y+z-6=0\)，設\(L\)與\(\alpha\)的交點為\(A\)，\(L\)與\(\beta\)的交點為\(\beta\)，動點\(P\)在\(\alpha\)與\(\beta\)的交線上，求\(\Delta PAB\)面積的最小值。
不確定有沒有比較簡潔，這題個人想法如下。
分析: A，B 為定點，當 △PAB 面積取最小值時，AB 上的高長即為兩歪斜線 (直線L，二平面 α, β 的交線) 的距離。
解:
L: (1+t, 2-2t, 3-2t) 代入平面 α, β ⇒ 參數值差 1 ⇒ AB = √(1+4+4) = 3
以下求: 過 α, β 的交線，且 // L 之平面 E。本題顯然 E 可設為 (2x-y-z-3) + k*(x-2y+z-6) = 0
因 (2+k, -1-2k, -1+k)．(1, -2, -2) = 0 ⇒ k = -2 ⇒ E: y-z+3 = 0 ⇒ d(L, E) = |2-3+3|/√2 = √2 (此即上述兩歪斜線的距離)
△PAB 面積最小值 = (1/2)*3*√2 = (3√2)/2
