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105永春高中

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回復 10# thepiano 的帖子

已更正,謝謝鋼琴老師^^

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填充題 4.,個人想法如下,請教是否有誤。
設\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)為平面上三個非零向量,已知\(|\;\vec{a}|\;=4\),\(|\;\vec{b}|\;=6\),\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)的正射影長是1。若\(\vec{c}\)滿足\((\vec{c}-\vec{a})(\vec{c}-\vec{b})=0\),請問\(|\;\vec{c}|\;\)的最大值為何?


如上圖,把向量 a, b, c 的始點定為 O,終點依次分別為 A, B, C; 則依題意,C 的軌跡為以 AB 為直徑的圓 (M 為圓心)。

OC 的最大值,即 OM + MC。

OA = 4,OB = 6,cos θ = 1/4

由餘弦定理與中線定理:

AB = √ (16 + 36 - 12) = √40 ⇒ MC = √10

OM = (1/2)*√[2*(16 + 36) - 40] = 4

所求 = OM + MC = 4 + √10

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回復 12# cefepime 的帖子

cefepime大大,您是對的,小弟思慮還不周全@@

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回復 2# bugmens 的帖子

您解的好,但那只能說是其中的一個解而已
應該再加上一個說明以證明沒別的解如下:
以您的解出發,若x再大一點則由(1)知y會小一點,
再由(2)知z會大一點,再由(3)知x會小一點,得出矛盾
同理若x想比13/36小也是不行的.

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填充2的解

填充2的解如下:
設\(n \in N\),請問有幾個\(n\)能使\(8^n+n\)是\(2^n+n\)的倍數?
[解答]
2^n+n  I  8^n+n  , 又 2^n+n  I  (2^n)^3+n^3  ,  兩式相減知 原式與2^n+n  I  n^3-n 等價
但n>=10時2^n+n > n^3-n>0 為無解,故只需測試n=1--9即可得n=1,2,4,6為解
同法可得2^n+n  I  16^n+n 的解為 n=2,4,16

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計算3的延伸

         

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填充 8.  嘗試由 "觀察圖形" 來推測答案。
平面上有兩圓\(C_1\):\( \displaystyle x^2+y^2=\left( \frac{a}{2} \right)^2 \),\( C_2 \):\( x^2+y^2=a^2 \)及一點\( R(b,0) \),\( b>a \),自\( R \)點作\( C_1 \),\( C_2 \)的切線。若在第一象限的切點分別為\( P,Q \),令\( O \)為原點,\(∠POQ=\theta\),求\( \theta \)的範圍。

題意可轉化為:  60° < ∠POR < 90°,0° < ∠QOR < 90°,cos∠POR / cos∠QOR = 1/2,求 θ = ∠POR - ∠QOR 的範圍。


上圖左,為二個以原點為圓心,半徑分別為 kr (0<k<1) 與 r 的四分之一圓。考慮在兩個圓周上,x 坐標相等之兩點的 y 坐標差 (即綠色線段長)。易知隨 x 值遞增 (0 → kr),y 坐標差值亦遞增。

上圖右,即圖示∠POR 與 ∠QOR 之關係。紅藍兩圓半徑比 = 2 : 1,從而 cos∠POR / cos∠QOR = 1/2。當 P 點的 x 坐標由 0 遞增至 r/2,PS 線段長亦隨之遞增 (依上述), 從而 θ 角亦遞增 (由 △POS 之正弦定理,或在本題亦可用 △POQ 之中線定理)。

綜上,得 0° < θ < 60°。

(若本題的餘弦比是其他常數,亦可類比以上圖解與結果)

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回復 4# thepiano 的帖子

cos(POR)=1/b
cos(QOR)=2/b
故cos(POQ)=cos(POR-POQ)=CC+SS=2/(bb)+sqrt(bb-1)sqrt(bb-4)/(bb)

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回復 12# cefepime 的帖子

解題過程中,應考慮 OA 向量 OB 向量夾角為鈍角的情況!

但最後答案相同。

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回復 22# Chen 的帖子

Chen 老師所言甚是。也藉這個機會請版友們思考一下: 那麼是否需要再計算 向量a 與 向量b 的夾角是鈍角的情形?


在 12# 的圖中,我們把 △AOB 完善為一個平行四邊形 AOBO',則向量 BO' 與 向量 BO 即為前述夾鈍角的情況。

由圖易知: 夾銳角時,所求 = OM + MB,而夾鈍角時,所求 = MB + OM,因此兩者必然是相等的。

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