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105中壢高中

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回復 30# anyway13 的帖子

(7,1,1) 是 36 種
(6,2,1) 的式子後面應是 C(1,1)
另外少算了 (3,3,3)

另解
http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=28752#p28752

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回復 31# thepiano 的帖子

正面解總算做對了,謝謝鋼琴師

反面另解,真的是很聰明的做法

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補充填充9、請教計算1

補充填充9
亦可利用第二類斯特靈數(Stirling numbers of the second kind)
以\( S(n,k) \)表示將\( n \)個相異物分成\( k \)堆(不能有空堆)的方法數
則所求即為\( S(9,1)+ S(9,2) + S(9,3)=1+255 +3025 \)
而計算方式是用遞迴\( S(n+1,k)=kS(n,k)+S(n,k-1) \)
寫成類似巴斯卡三角形的形式,推出需要的項
1
1   1
1   3       1
1   7       6       1
1   15     25     10   1
1   31     90      ...
1   63     301    ...
1   127   966    ...
1   255   3025  ...
請教計算1
設函數\( f(x) \)滿足\(x^2 f(x)=\frac{3}{5}x^5+\cdots+\int_0^x tf(t)dt \),且\( \cdots \)
我明白可以利用微積分基本定理(F.T.C)解出\( f(x) \)
可是,題目敘述為「函數\( f(x) \cdots \)」,而未說是「多項式函數」或者「可微分函數」
那麼,直接視為可微分開始操作,是否有不嚴謹之處?
我的想法是,或許題目應該直接說是「多項式函數」
我遇到這類問題都會有如此顧慮,想請教老師們的看法!

[ 本帖最後由 呆呆右 於 2021-4-28 21:04 編輯 ]

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回復 33# 呆呆右 的帖子

計算1
通過移項整理得 \(\displaystyle f(x)=\frac{3}{5}x^3+\frac{1}{2}ax^2-\frac{1}{3}x+\frac{2}{x^2}\int^{x}_{0}tf(t)dt\) 是明顯可微分的
因為 \(\displaystyle \frac{3}{5}x^3+\frac{1}{2}ax^2-\frac{1}{3}x\)、\(\displaystyle \frac{2}{x^2}\)、\(\displaystyle \int^{x}_{0}tf(t)dt\) 皆可微分

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計算 1. 試著說明一下,看看有沒有什麼漏洞
由 \(x^2 f(x)=\frac{3}{5}x^5+\cdots+\int_0^x tf(t)dt \)
若令等式右方整個式子為 \( F(x) \),可得 \( F(x) \) 為連續函數。
(黎曼可積或勒貝格可積,應可推出連續的結論)

而在 \( x \neq 0 \) 時, \( f(x) = \frac{F(x)}{x^2} \),可得 \( f(x) \) 在 \( x\neq 0 \) 處皆連續。

令 \( G(x) = \int_0^x 2t f(t)dt \),由微積分基本定理可得 \( x \neq 0 \) 時,\( G'(x) = 2x f(x) \).
因此在 \( x \neq 0 \) 處 \( F(x) \) 亦可微,\( f(x) = \frac{F(x)}{x^2} \) 在 \( x \neq 0 \) 處亦可微。

到這應該夠解 (1),要再仔細做一下,也是可以做出 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 處可微,但應該不影響解 \( f(x) \)
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謝謝czk0622老師、寸絲老師撥空回覆

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