第10題
設複數\(w,z\)滿足\(|\;w|\;=1\)，\(|\;z|\;=10\)，設\(\displaystyle \theta=arg(\frac{w-z}{z})\)，求\(tan^2 \theta\)的最大值為　　　。
[解答]
\(\begin{align}
  & \frac{1}{\sin \left( \pi -\theta  \right)}=\frac{10}{\sin \alpha } \\
& \sin \theta =\frac{\sin \alpha }{10} \\
& {{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{\sin }^{2}}\alpha }{100}\le \frac{1}{100} \\
& {{\tan }^{2}}\theta =\frac{{{\sin }^{2}}\theta }{{{\cos }^{2}}\theta }=\frac{{{\sin }^{2}}\theta }{1-{{\sin }^{2}}\theta }=\frac{1}{1-{{\sin }^{2}}\theta }-1\le \frac{1}{1-\frac{1}{100}}-1=\frac{1}{99} \\
\end{align}\)

第 3 題
若\(\sqrt{x^2+(mx-3m+2)^2}+\sqrt{x^2+(mx-3m+10)^2}=10\)有兩相異實根，求\(m\)之範圍為　　　。
[解答]
直線 y = mx - 3m 必過 (3，0)，把它和橢圓 \(\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{\left( y+6 \right)}^{2}}}{25}=1\) 都畫出來
易知 m 超過某個值後，會與橢圓有 2 個交點

變形一下
令 \(x=\frac{3}{5}u,y=v\)
橢圓轉為圓 \({{u}^{2}}+{{\left( v+6 \right)}^{2}}={{5}^{2}}\)，直線轉為 \(\frac{3}{5}mu-v-3m=0\)
利用 \(\frac{\left| 6-3m \right|}{\sqrt{{{\left( \frac{3}{5}m \right)}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=5\)，可求出\(m=\frac{11}{36}\)
所求為\(m>\frac{11}{36}\)

想問一下除了設設f(x)=ax^3+bx^2+cx+d 下去計算之外 請問有其他想法可以算嗎？

謝謝

兩邊微分

填充第七題
\( \displaystyle \lim_{m \to \infty} \left( \lim_{n \to \infty}\left( \frac{\root n \of {1+3^{2n}}+\root n \of {3^{2n}+5^{2n}}+\root n \of {5^{2n}+7^{2n}}+\ldots+\root n \of {(2m-1)^{2n}+(2m+1)^{2n}}}{m^3} \right) \right) \)
我參考101做法後自己算，但是答案會是0

未命名.jpg (69.81 KB)

2016-6-13 15:12

不知道盲點在哪邊？

還有填充第六題程度真的太差，可以再多給小弟一點提示嗎~
感激不盡~~~ ><

第六題
設[ ]表高斯函數，求\( \displaystyle \Bigg[\; \frac{10^{10000}}{10^{100}+1} \Bigg]\;÷100 \)的餘數為　　　。

第七題的盲點在於極限為不定型需再進一步化簡
舉例：lim (1^2+2^2+...+n^2)/n^3.(n→∞)可以說它是0嗎？

感謝eyeready大提點
第七題：極限值已經用羅必達做出
第六題：雖然是常見的招數，但該用的時候就是沒想到他.....

感謝~

請教第三題有其他的方式解題嘛？若沒有可以附上上述的詳解嗎？感恩您

3.
若\(\sqrt{x^2+(mx-3m+2)^2}+\sqrt{x^2+(mx-3m+10)^2}=10\)有兩相異實根，求\(m\)之範圍為　　　。
[解答]
小弟是用幾何來解找切線求斜率，和前面討論大同小異，如有其他想法希望版友能提供参考

感謝您的幫忙，那除了假設直線再帶入橢圓中找出切線方程式外，有沒有公式可以直接找出來切線方程式呢？？