填充第1題
設
2
n
1999,試問有多少個正整數
n,使得存在大於1的正整數
a
b且滿足
logan=b?
[解答]
a^b = n,a>1,b>1,2 ≦ n ≦ 1999
(1) b = 2,a = 2 ~ 44,計 43 個
(2) b = 4、6、8、10,a^b = n 都是平方數,與 (1) 同,不計
(3) b = 3,a = 2 ~ 12,扣掉 4^3 = 8^2 和 9^3 = 27^2,計 9 個
(4) b = 5,a = 2 ~ 4,扣掉 4^5 = 32^2,計 2 個
(5) b = 7,a = 2,計 1 個
(6) b = 9,a = 2,2^9 = 8^3,不計
所求為 43 + 9 + 2 + 1 = 55 個
填充第4題
設
x
y
z為正整數,且
xyz=212
32,求
x+y+z可以被4整除的機率。
[解答]
xyz=212
32
數對(x,y,z)有
H312
H23組
x+y+z是4的倍數,有以下三種情形
(1)三者都是4的倍數:有
H63
H23種情形
(2)只有1個是4 的倍數,另2個只是2的倍數而非4的倍數:有
C23
H23種情形
(3) 1個是
212
3,另2個是1和3:有3!種情形
所求
=H312
H23H63
H23+C23
H23+3!=9132