5.
投擲一顆公正的骰子直到連續三次出現相同的數字後停止，求投擲次數的期望值。
[解答]
我在想，解這個題目應該也可以套用"幾何分配"的性質:

重複進行一成功機率為 p (>0) 之試驗 (每次試驗為獨立事件)，直至第一次試驗成功為止，則試驗次數之期望值 = 1/p。


現考慮: 擲一公正骰子，連續出現 n (>1) 次相同數字才停止，求擲骰子次數的期望值。


思考: 由於 "連續出現 n 次相同數字" 是基於先 "連續出現 n-1 次相同數字"，繼之成功機率為 1/6。套用上述"幾何分配"的性質，有:

E(n) = 6*E(n-1) + 1，在此 E(k) 是指連續出現 k 次相同數字才停止之投擲次數期望值。

由 E(1) = 1，得 E(2) = 7，E(3) = 43，E(4) = 259，...。

一般式為 E(n) = (6ⁿ -1) / 5。

cefepime 兄，這種期望值結合遞迴的妙解令人大開眼界啊

補充兩題

填充題第二題
題目是  有n天要頒獎m的禮物，第一天先發1個，再發m-1的1/7出去，剩下的第二天發出，第二天再發出2個，和剩下的1/7，按照這樣的發法，在第n天時發出n個就剛好發完
請問(n,m)=?

計算題的某一題
請比較(1)和(2)的大小
(1) 邊長是正整數解，周長為2013的三角形 ，有多少個？
(2) 邊長是正整數解，周長為2016的三角形，有多少個？

若有錯誤 請老師補充指教

2.
因應武陵高中校慶，校方準備了\(m\)個禮物要在\(n\)天發完，發法如下；第一天先發一個，再從剩餘的\(m-1\)個禮物選\(\displaystyle \frac{1}{7}\)送出去；第二天先送出兩個，再從剩餘的禮物中挑\(\displaystyle \frac{1}{7}\)發出去。按照此發法，在第\(n\)天的時候發出\(n\)個剛好全部發完，請問數對\((m,n)=\)？
[解答]
設第\(k\)天頒完後，剩\({{a}_{k}}\)個禮物
\(\begin{align}
  & {{a}_{0}}=m,{{a}_{n}}=0 \\
& {{a}_{k}}=\frac{6}{7}\left( {{a}_{k-1}}-k \right) \\
& {{a}_{k-1}}=\frac{7}{6}{{a}_{k}}+k \\
& m={{a}_{0}}=1+2\times \frac{7}{6}+3\times {{\left( \frac{7}{6} \right)}^{2}}+\cdots \cdots +n{{\left( \frac{7}{6} \right)}^{n-1}}=\left( n-6 \right)\times \frac{{{7}^{n}}}{{{6}^{n-1}}}+36 \\
& \left( {{7}^{n}},{{6}^{n-1}} \right)=1,n-6<{{6}^{n-1}},m\in N \\
& n=6,m=36 \\
\end{align}\)

【還有一題】
已知擲一枚硬幣出現正面的機率是p，出現反面的機率是1-p，今我們連續擲一枚硬幣10次，設這10次中出現k次正面的機率為p_k，且已知p_4=4*p_6，求p_1+3*p_2+5*p_3+...+19*p_10

(可用指數表示答案)

2<=n<=1999, a,n 是正整數, b=log_a(n) 是整數的（a,b)有幾組解？
f(x)=x^3-3x^2+3ax-3a+3 的定義域為{x|0<=x<=2}, 試就a值討論 |f(x)|的最大值
拋物線外一點P到拋物線的切點分別為A,B，焦點為F,證明角PFA=角PFB

記得填充這題是這樣
n 是正整數, 2<=n<=1999,   有多少個n
可以找到大於1的正整數a,b, 滿足b=log_a(n)

問的是n有幾組   不是問(a,b)有幾組

感謝學長修正

引用:

原帖由 agan325 於 2016-4-18 10:34 AM 發表
計算題的某一題
請比較(1)和(2)的大小
(1) 邊長是正整數解，周長為2013的三角形 ，有多少個？
(2) 邊長是正整數解，周長為2016的三角形，有多少個？

這是整數分拆的難題，兩者答案都是84672個

\( \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{m^2 n+n^2 m+2mn}= \)？
英文書名為Problem-Solving Through Problems
簡體書名為美國大學生數學競賽例題選講
繁體書名為通過問題學解題