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105武陵高中

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原帖由 bugmens 於 2016-4-18 08:25 PM 發表
\( \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{m^2 n+n^2 m+2mn}= \)?
這題不就是有名考古題?
印象中答案:7/4
算出來要花一些時間...

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回復 11# cefepime 的帖子

這簡直神技啊!

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填充8f(x)是三次實係數多項式,f(3+4i)=75-100i ,  f(7+24i)=7-24i ,求f(x)的常數項
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提供一個今天朋友想到的方法
跟考古題一樣的技巧    (PS 如果用 xf(x) 解法會漂亮一點)
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108

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[ 本帖最後由 sliver 於 2016-4-19 06:31 PM 編輯 ]

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2016-4-19 18:19

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回復 19# thepiano 的帖子

但是這題只問兩者的大小,所以建立一一對應關係:

(a,b,c)→(a+1,b+1,c+1)

稍微判斷一下三角形兩邊和大於第三邊條件,可知邊長2013的三角形會和2016的三角形一樣多

ps:如果改成2016、2019就不一樣多了(2019比較多)

[ 本帖最後由 stanley30203 於 2016-4-20 12:10 PM 編輯 ]

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回復 1# EZWrookie 的帖子

證明任意凸四邊形ABCD 皆有AB*CD+AD*BC>=AC*BD,並說明等號成立的條件。

最近在書上看到一個蠻簡單漂亮的證明。

以A為反演中心,任取半徑r>0的反演圓。將B、C、D作反演得到B'、C'、D'
則B'C'=(BC*r*r)/(AB*AC)、B'D'=(BD*r*r)/(AB*AD)、C'D'=(CD*r*r)/(AC*AD)

由三角不等式B'C'+C'D'>=B'D'
化簡即得到AB*CD+AD*BC>=AC*BD

等號成立條件為B'、C'、D'共線,即ABCD共圓

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做出準線
分別過A、B做準線的垂線,交點分別為C、D
拋物線定義AF=AC
光學性質得到AP為角FAC的平分線
故AP為FC的中垂線
PF=PC
同理PF=PD
故PC=PD
角AFP=角ACP=角ADP=角BFP

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105武陵計算4拋物線.jpg (16.19 KB)

2016-4-21 14:24

105武陵計算4拋物線.jpg

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回復 9# thepiano 的帖子

請益老師最後一個5/6(E+1)要怎麼解釋???
一直想不通 謝謝

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回復 27# leo790124 的帖子

先丟出1個點數後,接下來有5/6的機率丟出跟此點數不同的點數,視為重新丟出1個點數,但期望值多1

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求解

請教填充1,4跟計算2,5

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回復 29# son249 的帖子

填充第1題
a^b = n,a>1,b>1,2 ≦ n ≦ 1999
(1) b = 2,a = 2 ~ 44,計 43 個
(2) b = 4、6、8、10,a^b = n 都是平方數,與 (1) 同,不計
(3) b = 3,a = 2 ~ 12,扣掉 4^3 = 8^2 和 9^3 = 27^2,計 9 個
(4) b = 5,a = 2 ~ 4,扣掉 4^5 = 32^2,計 2 個
(5) b = 7,a = 2,計 1 個
(6) b = 9,a = 2,2^9 = 8^3,不計
所求為 43 + 9 + 2 + 1 = 55 個

填充第4題
\(xyz={{2}^{12}}\times {{3}^{2}}\)
數對(x,y,z)有\(H_{12}^{3}\times H_{2}^{3}\)組
x+y+z是4的倍數,有以下三種情形
(1)三者都是4的倍數:有\(H_{6}^{3}\times H_{2}^{3}\)種情形
(2)只有1個是4 的倍數,另2個只是2的倍數而非4的倍數:有\(C_{2}^{3}\times H_{2}^{3}\)種情形
(3) 1個是\({{2}^{12}}\times 3\),另2個是1和3:有3!種情形
所求\(\begin{align}
  & =\frac{H_{6}^{3}\times H_{2}^{3}+C_{2}^{3}\times H_{2}^{3}+3!}{H_{12}^{3}\times H_{2}^{3}} \\
& =\frac{32}{91} \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-5-5 12:49 PM 編輯 ]

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