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105武陵高中

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我在想,解這個題目應該也可以套用"幾何分配"的性質:

重複進行一成功機率為 p (>0) 之試驗 (每次試驗為獨立事件),直至第一次試驗成功為止,則試驗次數之期望值 = 1/p。


現考慮: 擲一公正骰子,連續出現 n (>1) 次相同數字才停止,求擲骰子次數的期望值。


思考: 由於 "連續出現 n 次相同數字" 是基於先 "連續出現 n-1 次相同數字",繼之成功機率為 1/6。套用上述"幾何分配"的性質,有:

E(n) = 6*E(n-1) + 1,在此 E(k) 是指連續出現 k 次相同數字才停止之投擲次數期望值。

由 E(1) = 1,得 E(2) = 7,E(3) = 43,E(4) = 259,...。

一般式為 E(n) = (6ⁿ -1) / 5。


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回復 11# cefepime 的帖子

cefepime 兄,這種期望值結合遞迴的妙解令人大開眼界啊

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回復 1# EZWrookie 的帖子

補充兩題

填充題第二題
題目是  有n天要頒獎m的禮物,第一天先發1個,再發m-1的1/7出去,剩下的第二天發出,第二天再發出2個,和剩下的1/7,按照這樣的發法,在第n天時發出n個就剛好發完
請問(n,m)=?

計算題的某一題
請比較(1)和(2)的大小
(1) 邊長是正整數解,周長為2013的三角形 ,有多少個?
(2) 邊長是正整數解,周長為2016的三角形,有多少個?

若有錯誤 請老師補充指教

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引用:
原帖由 agan325 於 2016-4-18 10:34 AM 發表
填充題第二題
題目是  有n天要頒獎m的禮物,第一天先發1個,再發m-1的1/7出去,剩下的第二天發出,第二天再發出2個,和剩下的1/7,按照這樣的發法,在第n天時發出n個就剛好發完
請問(n,m)=?
設第\(k\)天頒完後,剩\({{a}_{k}}\)個禮物
\(\begin{align}
  & {{a}_{0}}=m,{{a}_{n}}=0 \\
& {{a}_{k}}=\frac{6}{7}\left( {{a}_{k-1}}-k \right) \\
& {{a}_{k-1}}=\frac{7}{6}{{a}_{k}}+k \\
& m={{a}_{0}}=1+2\times \frac{7}{6}+3\times {{\left( \frac{7}{6} \right)}^{2}}+\cdots \cdots +n{{\left( \frac{7}{6} \right)}^{n-1}}=\left( n-6 \right)\times \frac{{{7}^{n}}}{{{6}^{n-1}}}+36 \\
& \left( {{7}^{n}},{{6}^{n-1}} \right)=1,n-6<{{6}^{n-1}},m\in N \\
& n=6,m=36 \\
\end{align}\)

[ 本帖最後由 thepiano 於 2016-4-18 03:00 PM 編輯 ]

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回復 1# EZWrookie 的帖子

【還有一題】
已知擲一枚硬幣出現正面的機率是p,出現反面的機率是1-p,今我們連續擲一枚硬幣10次,設這10次中出現k次正面的機率為p_k,且已知p_4=4*p_6,求p_1+3*p_2+5*p_3+...+19*p_10

(可用指數表示答案)

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2<=n<=1999, a,n 是正整數, b=log_a(n) 是整數的(a,b)有幾組解?
f(x)=x^3-3x^2+3ax-3a+3 的定義域為{x|0<=x<=2}, 試就a值討論 |f(x)|的最大值
拋物線外一點P到拋物線的切點分別為A,B,焦點為F,證明角PFA=角PFB

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回復 16# czk0622 的帖子

記得填充這題是這樣
n 是正整數, 2<=n<=1999,   有多少個n
可以找到大於1的正整數a,b, 滿足b=log_a(n)

問的是n有幾組   不是問(a,b)有幾組

[ 本帖最後由 sliver 於 2016-4-18 02:19 PM 編輯 ]

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回復 17# sliver 的帖子

感謝學長修正

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引用:
原帖由 agan325 於 2016-4-18 10:34 AM 發表
計算題的某一題
請比較(1)和(2)的大小
(1) 邊長是正整數解,周長為2013的三角形 ,有多少個?
(2) 邊長是正整數解,周長為2016的三角形,有多少個?
這是整數分拆的難題,兩者答案都是84672個

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\( \displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{m^2 n+n^2 m+2mn}= \)?
英文書名為Problem-Solving Through Problems
簡體書名為美國大學生數學競賽例題選講
繁體書名為通過問題學解題


[ 本帖最後由 bugmens 於 2016-4-18 08:41 PM 編輯 ]

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