複選第1題
設\( p(x) \)為一個八次多項式，若\( \displaystyle p(n)=\frac{1}{n} \)，\( n=1,2,3,\ldots,9 \)，則下列敘述何者正確？
(1)方程式\( xp(x)-1=0 \)恰有9個整數根 (2)\( p(x) \)的\(x^7\)項係數為\(-45\) (3)\( \displaystyle p(10)=\frac{1}{10} \) (4)\( p(11)=1 \)
[提示]
參考
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1195&page=1#pid4108
計算第3題
\( x,y \in R \)，\( x+y=x^2+y^2 \)，求\( x^3+y^3 \)的最大值及最小値。
[解答]
\(\begin{align}
& x+y={{x}^{2}}+{{y}^{2}} \\
& {{\left( x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}} \\
\end{align}\)
令\(x+y={{x}^{2}}+{{y}^{2}}=t\quad 0\le t\le 2\)
\(\begin{align}
& {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( x+y \right)-xy\left( x+y \right) \\
& =\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\left( x+y \right)-\frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{2}\left( x+y \right) \\
& ={{t}^{2}}-\frac{{{t}^{2}}-t}{2}\times t \\
& =-\frac{{{t}^{3}}}{2}+\frac{3}{2}{{t}^{2}} \\
\end{align}\)
微分可知
\(t=0\)時，有最小值0
\(t=2\)時，有最大值2
