填充題 4. 以直線 L : x = 0 ∩ y - z = 0 為軸，將點 P(0, 2, 1) 旋轉一圈得一圓 C，求圓 C 投影到 xy 平面所得的曲線方程式。
想法 1:
把桌面上一直徑 d 之圓盤頂起一銳角 θ，考慮其在桌面之投影橢圓的長, 短軸長 (分別為 2a, 2b)，易知 2a = d, 2b = d*cosθ。
嚴謹點說，長, 短軸分別為諸直徑之最大, 小投影，而投影角範圍為 [0, θ]。
本題 cosθ = 1/√2 (圖解或用法向量)，P 在 L 上的對稱點為 (0, 1, 2) (|斜率| = 1，直接代入即可)，故 C 的圓心 = (0, 3/2, 3/2)，r² = 1/2
⇒ 橢圓中心 (0, 3/2)，a² = 1/2，b² = 1/4
⇒ 所求: x² + 2(y - 3/2)² = 1/2 即 x² + 2y² - 6y + 4 = 0。
想法 2:
所求即圓 C 上的點之 x, y 坐標滿足之方程式; 而圓 C 可用一平面與一球面之交集表示，消去 z 即為所求。
圓 C 所在的平面: y + z = 3 (點向式)。
圓 C: y + z = 3 ∩ x² + y² + z² = 5 (= OP²，O 為原點)，代入消去 z 得 x² + y² + (3 - y)² = 5 即 x² + 2y² - 6y + 4 = 0。
本來尚需說明"其逆亦真"，但既知投影為橢圓，故省略。
(在此可逕取 O 為球心，OP 為半徑的球面是由於本題 O 在 L 上; 否則可取 L 上某點 Q 為球心，QP 為半徑之球面)
[ 本帖最後由 cefepime 於 2016-9-4 08:07 PM 編輯 ]
