第1題、第2題如圖，
如果觀念有錯誤請幫忙指正!!謝謝，
其實第二題我也只是馬後炮...
在車上才想到要這樣做
一開始一直在解\(a^2-ab-b^2=0\)移項\(a^2-b^2=ab\)，\((a+b)(a-b)=ab\)但是後來我就解不出來了 冏....
看來還是得要多多熟悉考場的感覺，不然一進去有種腦袋一片空白的感覺..
1.
將一長、寬、高分別為3、6、9的長方體盒子放於桌面上(設為\(xy\)平面)，若已知其中一頂點\(A(2,1,0)\)，與\(A\)相鄰兩頂點坐標為\(B(3,3,2)\)、\(C(8,-5,3)\)，則此長方體最高點距離桌面高度為 。
[解答]
長：3
寬：6
高：9
\(A(2,1,0)\)、\(B(3,3,2)\)、\(C(8,-5,3)\)
\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{AC}=9\)
\(\vec{AB}=(1,2,2)\)、\(\vec{AC}=(6,-6,3)\)
公垂向量\(=(2,1,-2)\)
利用\(\vec{AB}=(1,2,2)\)可得\(D(9,-3,5)\)
令最高點\(E=(9+2t,-3+t,5-2t)\)
\(\overline{DE}=\sqrt{4t^2+t^2+(-2t)^2}=6\)
\(9t^2=36\)
\(t=\pm 2\)
則\(E=(13,-1,1)\)或者\(E=(5,-5,9)\)，但\(E=(13,-1,1)\)不合(長方體在桌面上)
故最高點離桌面為9
2.
一正數\(x\)的整數部分記為\(a\)(即\(a=\left[x \right]\)，\(\left[ \right]\)為高斯記號)，小數部分記為\(b\)，其中\(0\le b<1\)，則所滿足\(a^2=x \cdot b\)的正數\(x\)為 。
[解答]
Let \(x=a+b\)，\(a\)為整數，\(0\le b<1\)
\(a^2=x \cdot b=(a+b)\cdot b=ab+b^2\)
移項得
\(a^2-ab=b^2\)
\(a(a-b)=b^2\)
\(a=b\)或\(a=b^2\)的情況只有一種，就是\(a=b=0\)，
故\(a=1\)，\(a-b=b^2\)，
\(1-b=b^2\)，\(b^2+b-1=0\)，\(\displaystyle b=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)(負不合，因為\(0\le b<1\))
故\(\displaystyle b=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},a=1\)
\(\displaystyle x=a+b=1+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)
