請教填充1，2題

1.
設向量a，b，c滿足a=b=3，ab=21，且a−c與b−c的夾角為3，則c的最大值為　　　。
[解答]
|a|=|b|=1  向量c最長時會落在向量a和向量b的角平分線上，這時候再使用正弦定理解之
2.
已知0，若方程式x2−4xcos2+2=0的一個實根與方程式2x2+4xsin2+1=0的一個實根互為倒數，則=　　　。
[解答]
令P為第一個方程式的根  1/p為第二方程式的根  兩式相減然後疊合，就可以解角度了
最後想請教一下為什麼我拍照的圖檔好大喔，所以我不敢放上去，要怎麼解決
請教填充4 and  7

題充第一題可以寫詳細嗎！謝謝！

填充 1.
設向量a，b，c滿足|\;\vec{a}|\;=|\;\vec{b}|\;=3，\displaystyle \vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}，且\vec{a}-\vec{c}與\vec{b}-\vec{c}的夾角為\displaystyle \frac{\pi}{3}，則|\;\vec{c}|\;的最大值為　　　。
[解答]
圖長這樣，

2014.06.10.103陽明高中.png (18.03 KB)

2014-6-10 20:22

\vec{a} = \vec{PA}, \vec{b} = \vec{PB}, \vec{c} = \vec{PC} 兩圓的圓心 O, O' ，滿足 \angle AOB = \angle AO'B = 120^\circ (這樣向量 \vec{CA}, \vec{CB} 夾 60^\circ )

當 C = C'' 是最小值， C = C' 時，有最大值。

令 \theta = \frac12 \angle APB ，則所求最大值 = 3 \cos \theta + 3 \sin \theta \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 3  = \frac{\sqrt{19} + \sqrt{51}}{2}

填充7：
已知函數f(x)=|\;cos x|\;的圖像與直線y=kx(k>0)恰有兩個交點，其中交點的橫坐標的最大值為\alpha，求\displaystyle \frac{sin\alpha}{cos3\alpha-cos\alpha}=　　　(以\alpha表示)。
[解答]
畫圖知交於兩點時剛好有相切之關係, \displaystyle \alpha \in \left( \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right),\left| \cos \alpha  \right|=-\cos \alpha
由切線斜率相等可推知\displaystyle \frac{-\cos \alpha }{\alpha }={{\left. \frac{d}{dx}\left( -\cos x \right) \right|}_{x=\alpha }}=\sin \alpha \Rightarrow \tan \alpha =-\frac{1}{\alpha }
所求可化簡為\displaystyle \frac{1}{-2\sin 2\alpha }=\frac{1+{{\tan }^{2}}\alpha }{-4\tan a}=\frac{{{\alpha }^{2}}+1}{4\alpha }

填充4：
若P(x,y)與Q(m,n)是關於直線y=2x-1對稱的兩點，將Q(m,n)繞原點旋轉60^{\circ}，又得到R(X,Y)。假設將P變換到R可用矩陣\left[\matrix{X\cr Y}\right]=\left[\matrix{a&b\cr c&d} \right]\left[\matrix{x\cr y} \right]+\left[\matrix{\alpha \cr \beta} \right]表示，則矩陣\left[\matrix{\alpha \cr \beta}\right]=　　　。
[解答]
想法如下：
先考慮P到直線y=2x之對稱點P’(x',y'), 然後再經過平移到Q
畫圖可推知 Q=P'+t\left( 2,-1 \right),t\in {{R}^{+}} , 解 \left| Q-P' \right|=\left| \overrightarrow{P'Q} \right|=t\left| \left( 2,-1 \right) \right|=2d=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow t=\frac{2}{5}  
其中 d 為 y=2x 與 y=2x-1 之距離, 所以我們得到關係式
\left( \begin{matrix}    m  \\    n  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    x'  \\    y'  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix}    \frac{4}{5}  \\    -\frac{2}{5}  \\ \end{matrix} \right) , 再透過旋轉與線性關係，
\left( \begin{matrix}    \alpha   \\    \beta   \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    \cos 60{}^\circ  & -\sin 60{}^\circ   \\    \sin 60{}^\circ  & \cos 60{}^\circ   \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}    \frac{4}{5}  \\    \frac{-2}{5}  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    \frac{2+\sqrt{3}}{5}  \\    \frac{2\sqrt{3}-1}{5}  \\ \end{matrix} \right)
依樣錯誤或怪怪的地方再麻煩偵錯一下，感恩

請教計算2 和3題  謝謝

計算2：
只由三個字母a,b,c所組成長度為n的字串在通訊管道上傳輸，要求在傳輸中不可以有兩個a連續出現在任一字串中。令a_n是長度為n的字串時，傳輸中的字串個數，則：
(1)求a_1、a_2、a_3之值。
(2)寫出a_n的遞迴式。
(3)求a_n的一般式。
[解答]
(1) a(1)=3 , a(2)=8, a(3) =22
(2)  考慮a(n)：
      若第一個字母為a, 則第2個字母為b或c, 方法數2*a(n-2)
      若第一個字母為b或c,  方法數2*a(n-1)
      故 a(n)=2( a(n-1) + a(n-2) )

計算3：
已知實係數多項式f(x)滿足f(x^2)=f(x+1)f(x-1)，證明方程式f(x)=0無實根。
[解答]
反證法：
假設f\left( x \right)=0 存在實根{{a}_{1}}, 不失一般性，令{{a}_{1}}>0
則f\left( {{\left( {{a}_{1}}+1 \right)}^{2}} \right)=f\left( {{a}_{1}}+2 \right)f\left( {{a}_{1}} \right)=0, {{\left( {{a}_{1}}+1 \right)}^{2}}亦為f\left( x \right)=0的實根，令為{{a}_{2}}
考慮{{a}_{k}}={{\left( {{a}_{k-1}}+1 \right)}^{2}},k\ge 2, 則我們得到一個嚴格遞增的正實數數列\left\{ {{a}_{n}} \right\}滿足
f\left( {{a}_{k}} \right)=0,k\in \mathbb{N}, 故此多項式方程式的根為無限個，矛盾。

填充二
已知0<\theta<\pi，若方程式x^2-4xcos2\theta+2=0的一個實根與方程式2x^2+4xsin2\theta+1=0的一個實根互為倒數，則\theta=　　　。
[解答]
假設第一個方程式的兩根為 p,q
那麼 \displaystyle p+q=4\cos{2\theta},pq=-2
第二個方程式兩根為 \frac{1}{p},r
那麼  \displaystyle  \frac{1}{p}+r=-2\sin{2\theta}, \frac{r}{p}=-\frac{1}{2}

於是  \displaystyle qr=1

\displaystyle  \frac{1}{p}+r= \frac{1}{p}+ \frac{1}{q}= \frac{p+q}{pq}=\frac{4\cos{2\theta}}{-2}=-2\sin{2\theta}

\displaystyle \tan{2\theta}=-1

請各位幫忙，謝謝