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計算 5. 如原題意，如先前之猜測
我們以 0 表是打開， 1 表示關閉，則上下樓層的開關對應關係即模 2 的加法運算
例：開 開 關 開 0 0 1 0
開 關 關 0 1 1
以 \( a_i \equiv 0 \) 或 1 (mod 2), \( i =0,1,2,3,\ldots,1023 \) 表示 \( 2^{10} \) 層的窗戶開關態，
依題意其中有 \( 2^9 + 1 \) 個 \( a_i \) 為 0； \( 2^9 - 1 \) 個 \( a_i = 1 \)
觀察此倒三角形加法關係 \( a_i \) 的係數，不難發現是二項式係數
故 1 樓的狀態為 \( \displaystyle \sum_{i=0}^{1023} C^{1023}_{i} a_i \)
接著我們需要一個小性質 \( C^{1023}_{i} \equiv 1 \) (mod 2)，這件事可以 Lucas 定理得到
Lucas 定理：若 \( p \) 為質數，\( m = a_0 + a_1 p +a_2 p^2 +\ldots \), \( n = b_0 + b_1 p +b_2 p^2 + \ldots \) 為兩非負整數滿足 \( 0 \leq n \leq m \) 且 \( 0\leq a_i, b_i < p \) 則 \( C^m_n \equiv \displaystyle \prod C^{a_i}_{b_i} \) (mod \( p \))
(即 \( a_i, b_i \) 為 \( n, m \) 的 \( p \) 進位表示式的各個位數)
所以 1 樓的狀態為 \( \displaystyle \sum_{i=0}^{1023} C^{1023}_{i} a_i \equiv 2^9 -1 \equiv 1 \) (mod 2)，即該窗戶關閉
[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-1 09:05 AM 編輯 ]
