這題中，題意中的三實根隱含了 p 必為非負

否則 p0 時, 3 次函數 f(x)=x3−px+q  為嚴格遞增函數，其導數恆正，此時原方程式僅有一實根。

提供一個另解. 從三次函數的圖形著手

f(x)=0 之解為 x=3p 

改變 q 值，圖形上下移動，三根最小者有最小值的時候，圖形在 x=3p  處的極小值恰為 0，此時三根為 3p3p−23p 

同理，三根最大者有最大值的時候，圖形在 x=−3p  處的極大值恰為 0，此時三根為 −3p−3p23p 

故 −34pa34p 

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-19 05:15 PM 編輯 ]

寸絲兄的思維總是能令我恍然大悟~條件藏在題意中竟然不覺，
還懷疑題目有問題，但其實不是，這壞習慣要多留意~

沒有這麼嚴重啦，原本我也是一樣的想法，以為題目漏條件了

看了好幾次，剛剛才突然想到

tsusy老師可請教一下
再用以上兩個條件分類可產生 4 種情形是指以下這樣嗎??謝謝
(1) a+c=b+d=1  和a+c=b+d=-1
(2) a+c=-(b+d)=1 和a+c=-(b+d)=-1

引用:

原帖由 tsusy 於 2014-5-15 10:31 PM 發表
1. 最公高因式，可以用輾轉相除法處理，兩個多項式相減會得 (b−d)x2−(b−d)

當 b=d 時，兩多項式完全相同，最高公因式，就是自己本身

當 b=d 時，其最高公因式必為 x2−1 之因式，以因式定理檢 ...

想請問一下鋼琴大師或各位先進, 下面這個式子是怎麼來的? 或是什麼有名的不等式???
(x + 1/x)^2 + (y + 1/y)^2 ≧ (x + 1/x + y + 1/y)^2/2

[ 本帖最後由 David 於 2014-5-22 09:31 AM 編輯 ]

  x+x12+y+y122x+x1y+y12x+x12+y+y12x+x12+2x+x1y+y1+y+y12=x+x1+y+y12x+x12+y+y122x+x1+y+y12

2. #12 鋼琴兄用的應該是柯西不等式

(x+x1)2+(y+y1)212+12(x+x1+y+y1)2 

順帶來個另解
令 f(x)=(x+x1)2=x2+2+1x2, 則 f(x)=2+6x40

故 f(x) 在 (0,1) 上為凸函數(convex function), 由凸函數不等式有

2f(x)+f(y)f(2x+y)=f(21)=425

且當 x=y=21 時等號成立

[ 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-22 01:56 PM 編輯 ]

感謝兩位大師的說明!! 謝謝!!

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那我也來玩一下
令a=x+1/x ,b=y+1/y
代入"方均根不等式"
[(a^2+b^2)/2]^0.5>=(a+b)/2
可證出~

想請教有三實根的那題證明
若是由判別式<=0著手,會有27q^2+4(-p)^3<=0,
可推得p>=0,但後續該怎麼證??謝謝~