感謝寸絲兄

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-4-27 04:46 PM 發表
第四題
設\(ABCD\)為矩形，\(\overline {AB}  = 1,\overline {BC}  = 2,P\)為射線\(\overrightarrow {BC} \)上一點，使\(\tan \left( {\angle APC} \right) = \frac{1}{3}\)，求\(\overline {PD} \)長為?
(我先說我的想法， ...

乍看之下這題好像很麻煩
其實用課本定義就行了
(最基本的往往都忘了派上用場,看不起眼的公式,其實是最重要)
假設P(2t,t),A(0,1),B(0,0),C(2,0)
假設PC的斜率為m1 ,則m1=(t-0)/(2t-2)=t/(2t-2)
假設PA的斜率為m2 ,則m2=(t-1)/(2t-0)=(t-1)/(2t)
則tan(角APC)=(m1-m2)/(1+m1*m2) =1/3
解t

[ 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-2 10:13 PM 編輯 ]

確實，往往繞了一大圈，甚至最基本不起眼的公式。最好算。
就看當下想到甚麼公式觀念了。應該大家直覺都是內積或餘弦定理。
難道我們都被制約住了嗎?XD

引用:

原帖由 shingjay176 於 2014-5-2 10:20 PM 發表
確實，往往繞了一大圈，甚至最基本不起眼的公式。最好算。
就看當下想到甚麼公式觀念了。應該大家直覺都是內積或餘弦定理。
難道我們都被制約住了嗎?XD ...

是題目"角APC"讓人被困住在三角形APC內
以為用內積或餘弦定理
其實要轉成:直線AP與直限CP的夾角
用斜率&直線夾角公式來做

填充 4. 坐標硬解法，注意稱性，將矩形的中心點取為原點，令\( A( - 1,\frac{1}{2}),C(1, - \frac{1}{2}),P(2t,t) \)

\( \vec{AP}\cdot \vec{CP} = 5{t^2} - \frac{5}{4} = \sqrt {5{t^2} + 3t + \frac{5}{4}}  \cdot \sqrt {5{t^2} - 3t + \frac{5}{4}}  \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt {10} }}\)

\( \Rightarrow 25{(4{t^2} - 1)^2} = (20{t^2} + 12t + 5)(20{t^2} - 12t + 5) \cdot \frac{9}{{10}}\)

\( \Rightarrow 400{t^4} - 2504{t^2} + 25 = 0 \)

公式解可得 \( {t^2} = \frac{{2504 \pm 2596}}{{800}} = \frac{{25}}{4},\frac{1}{{100}} \Rightarrow t =  \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{1}{{10}} \)

其中 \( \pm \frac1{10} \) 檢驗應為 \( \cos \alpha = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \)

請問填充第五題有沒有甚麼好方法？

17樓，我已經解過填充題第五題了

引用:

原帖由 panda.xiong 於 2014-5-29 11:50 AM 發表
請問填充第五題有沒有甚麼好方法？

第5題：來個數學101的解法

設 \(\overset{\rightarrow}{BC}\cdot\overset{\rightarrow}{CA}=2\overset{\rightarrow}{CA}\cdot\overset{\rightarrow}{AB}=3\overset{\rightarrow}{AB}\cdot\overset{\rightarrow}{BC}=t\)

\(\overline{BC}=4\)    \(\Rightarrow\ \overset{\rightarrow}{BC}\cdot\overset{\rightarrow}{BC}=16\)    \(\Rightarrow\ \overset{\rightarrow}{BC}\cdot(\overset{\rightarrow}{AC}-\overset{\rightarrow}{AB})=16\)

\(\Rightarrow\ \displaystyle -t-\frac{t}{3}=16\)    \(\Rightarrow\ t=-12\)

\(\displaystyle \overline{AC}=\sqrt{\overset{\rightarrow}{AC}\cdot\overset{\rightarrow}{AC}}=\sqrt{\overset{\rightarrow}{AC}\cdot(\overset{\rightarrow}{BC}-\overset{\rightarrow}{BA})}=\sqrt{-t-\frac{t}{2}}=\sqrt{18}\)

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2014-5-29 08:06 PM 編輯 ]

想請問老師, 填充 1 ,為什麼 \({{n}^{2}}+7\) 與\(n+4\)  最大公因數是 23?

輾轉相除法就可以求出