填12.
在坐標平面上的ABC中，O為外心、H為垂心，若A=60 、B=75 、AB=42 ，求OH=　　　。
[解答]
我不知道有如此妙的公式，所以請容許我暴力解一下

注意 AOB=90 ，因此 AOB 是等腰直角三角形，AB=42  R=4 。

架坐標，設 OABC 之坐標分別為 (00)(40)(04)(−23−2) 。

則其中兩條垂線之方程式為 x−y=2−23 、3x+3y=43 。

解聯立得 x=4−23y=2 。

所以 OH2=(4−23)2+22=32−163 。

開方得 OH=22(3−1)=2(6−2) 。

其實可以不用算H坐標,借一下您一開始的假設
設 O,A,B,C 之坐標分別為 (0,0),(4,0),(0,4),(−2*3^0.5,−2)

設G為三角形ABC重心,則G坐標為( (4-2*3^0.5)/3 ,2/3)
因為O,G,H為歐拉線, 所以OH=3*OG=2(6^0.5-2^0.5)

是，我也剛剛想到，但是我忘了 OH=3OG

想請教第18題

我設切點(t,t^3-t)
令切線斜率m=3t^2-1
所以切線為y-t^3+t=(3t^2-1)(x-t) 過P(a,0)
得到2t^3-3at^2+a=0

接著應該是要找t有三個相異實根
請老師們給點想法，謝謝!

18.
已知函數圖形；f(x)=x3−x，而點P(a0)是圖形外一點，若過P恰可作相異三條的切線，則a的範圍為　　　。
[解答]
接著因為t有三相異實根，與X軸有三交點，兩極值應該分別在X軸異側
故微分找出極值點
f '(t) = 6t^2-6at=0 => 6t(t-a) =0 => t=0 or a
代入f(0) f(a) <0
=> a(2a^3-3a^3+a )<0
=> -a^2(a^2-1)<0
a>1 or a <-1