哈哈!!真粗心!!感恩

令 \(\vec{PA'}=2\vec{PA}, \vec{PB'}=-3\vec{PB}, \vec{PC'}=4\vec{PC}\)

則 \(\vec{PA'}+\vec{PB'}+\vec{PC'}=\vec{0}\)

可知 \(P\) 是 \(\triangle A'B'C'\) 的重心，

\(\triangle PB'C'\mbox{面積}=\triangle PA'C'\mbox{面積}=\triangle PA'B'\mbox{面積}\)

\(\Rightarrow \left|-3\right|\cdot4\triangle PBC\mbox{面積}=2\cdot4\triangle PAC\mbox{面積}=2\cdot\left|-3\right|\triangle PAC\mbox{面積}\)

\(\Rightarrow \triangle PBC\mbox{面積}: \triangle PAC\mbox{面積}:\triangle PAB\mbox{面積}=2:\left|-3\right|:4\)

想請教第9題
謝謝

9.
兩組二維數據\((u_i,v_i)\)與\((x_i,y_i)\)，變量\(U\)與\(X\)、\(V\)與\(Y\)分別有線性關係如下：\(u_i=-x_i+7\)、\(\displaystyle v_i=\frac{1}{2}y_i+2\)，已知\(V\)對\(U\)的迴歸直線通過點\((8,3)\)且\(\mu_x=4\)、\(\mu_y=6\)則\(Y\)對\(X\)的迴歸直線方程式為\(y=\)　　　。
[解答]
\(v\) 對 \(u\)的迴歸直線通過(8, 3) \(\rightarrow\) 設\(v=a(u-8)+3\)

由題目說的線性關係得\(\displaystyle\frac{1}{2}y+2=a(-x+7-8)+3\)

\(\rightarrow\) \(y=-2a(x+1)+2\)

又此直線必過\((\mu_x, \mu_y)=(4, 6)\) 〈題目出得不好，沒講清楚這兩個分別是\(x,y\)的平均〉

解得\(\displaystyle a=\frac{-2}{5}\) \(\rightarrow\) \(\displaystyle y=\frac{4}{5}(x+1)+2\)

請問第一題
能用根與係數算出一些關係
但不曉得如何用在10的次方上

填充第 1 題：
設\(x^2+2x log5+log\frac{5}{2}=0\)的二根為\(\alpha\)、\(\beta\)則\(10^{\alpha}+10^{\beta}=\)　　　。
[解答]
\(\displaystyle x^2+2x\log5+\log\frac{5}{2}=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^2+2x\log5+\log\frac{25}{10}=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow x^2+2x\log5+\left(2\log5-1\right)=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow \left(x+2\log5-1\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\displaystyle \Rightarrow x=1-2\log5\) 或 \(x=-1\)

\(\displaystyle \Rightarrow x=\log\frac{10}{5^2}=\log\frac{2}{5}\) 或 \(\displaystyle x=\log\frac{1}{10}\)

\(\displaystyle \Rightarrow 10^\alpha+10^\beta=10^{\log2/5}+10^{\log1/10}=\frac{2}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{2}.\)

想請教各位先進11題和20題的解答過程，謝謝。

11. #3 weiye 老師已解

20. 特徵值、對角化，或參考 99清水高中 Fermat 老師

感謝#18T大的回答，

結果發現是我看錯了，可以在請問第一大題的第12題嗎??謝謝

填充題第 12 題：
在坐標平面上的\(\Delta ABC\)中，\(O\)為外心、\(H\)為垂心，若\(\angle A=60^{\circ}\)、\(\angle B=75^{\circ}\)、\(\overline{AB}=4\sqrt{2}\)，求\(|\;\vec{OH}|\;=\)　　　。
[解答]
由正弦定理，求得 \(\overline{AC}=2\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right), \overline{BC}=4\sqrt{3}\)，\(\triangle ABC\) 的外接圓半徑 \(R=4\)

利用 \(\overline{OH}^2=9R^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

　　　（證明我放在 https://math.pro/db/thread-36-1-1.html ）

可得 \(\overline{OH}^2=9R^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

　　　\(=9\times16-\left[\left(4\sqrt{2}\right)^2+\left(4\sqrt{3}\right)^2+\left(2\sqrt{6}+2\sqrt{2}\right)^2\right]\)

　　　\(=32-16\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow \left|\vec{OH}\right|=2\sqrt{8-4\sqrt{3}}=2\sqrt{8-2\sqrt{12}}=2\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\)