想請問計算第二和第四題，謝謝

[ 本帖最後由 Jacob 於 2013-7-1 05:29 PM 編輯 ]

計算 4. 見 數學傳播 星空燦爛的數學(II)一一 托勒密定理 蔡聰明

50 頁圖. 22 下方有證明

計算 2. 可參考 #8

前半段：三實二虛，和虛根的討論沒什麼問題

後面實根的部分可以修正為：令 \( k \) 為 \( f(x)=0 \) 之一實根，則 \( k, \frac1k, 1-k, \frac1{1-k} \) 皆為 \( f(x)=0 \) 之實根。

而已知三實根，至多三相異實根，因此四者之中至少兩個相等，解出有限個 \( k \) 的可能值，再檢驗之。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-1 08:10 PM 編輯 ]

感謝寸絲大的幫忙，終於搞定了。

原所求整理到最後應該是
\(\displaystyle\huge=1+2\times (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots)\)
yuanzhi老師似乎少了一個1

另外，yuanzhi老師在寫兩個函數的函數值時，
少寫了一小部份就是函數f的值為零和1的時候

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-7-12 09:51 PM 編輯 ]

整理一下
有解答:
填1.2.3.4.5.6.7.8.
計2.4.5.6.
未解出
計1.3.

計算 1. 矩陣 \( A \) 之特徵多項式為 \( x^2-4x+3 = (x-3)(x-1) \)

令 \( x^n(x-1)^2 \) 除以 \( x^2-4x+3 \) 之餘式為 \( a_nx+b_n \)，

即有多項式 \( q(x) \) 使得 \( x^{n}(x-1)^{2}=q(x)(x^{2}-4x+3)+a_{n}x+b_{n} \)...(☆)。

將 \( x=1, 3 \) 分別代入(☆)，可解得  \( a_n= -b_n = 2\cdot3^{n} \)

由 Cayley-Hamilton 定理使 \( A^2 -4A + 3I =O \)

以 \( x = A \) 代入 (☆) 得 \( A^{n+2} - 2A^{n+1} + A^n = a_{n}A+b_{n}I = \begin{bmatrix}8\cdot3^{n} & 8\cdot3^{n}\\
-4\cdot3^{n} & -4\cdot3^{n}
\end{bmatrix} \)

請教一下計算5
==實在看不懂解法?

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2013-7-25 11:25 PM 編輯 ]

計算3.
設實係數多項式 \( \displaystyle f(x)=\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2-a^2x \)  (其中 \( \displaystyle a>0 \)) ，若 \( \displaystyle x=\alpha, \beta \) 時 \( \displaystyle f(x) \) 有極值，且\( \displaystyle |{\alpha}|+|{\beta}|=2 \)，求 \( \displaystyle b \) 的最大值。

解: \( \displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9} \)

\( \displaystyle \alpha, \beta \) 為 \( \displaystyle f '(x)=0 \) 之兩實根，即 \( \displaystyle ax^2+bx-a^2=0 \) 之兩實根，故有

\( \displaystyle b^2-4a(-a^2)\geq 0 \) ...(1)
\( \displaystyle \alpha+\beta=\frac{-b}{a} \) ...(2)
\( \displaystyle \alpha\beta=-a<0 \) ...(3)

再將 \( \displaystyle |{\alpha}|+|{\beta}|=2 \) 兩邊平方整理，得到

\( \displaystyle 4=(|{\alpha}|+|{\beta}|)^2=\alpha^2+\beta^2+2|\alpha\beta| \)
\( \displaystyle =\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta\)   by (3)
\( \displaystyle =(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\)
\( \displaystyle =\frac{b^2}{a^2}-4(-a) \)

故 \( \displaystyle \frac{b^2}{a^2}+4a=4 \)，

而得到 \( b^2=(4-4a)a^2 \)

最後再利用微分或是算幾不等式得出 \( \displaystyle b \) 的最大值為 \( \displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9} \)。

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-7-30 11:23 AM 編輯 ]

感謝

請問(x^2-x+1)(x-2)(x-1/2)^2
這樣重根的答案不行嗎?
三實二虛中，實根不能重根嗎?