想請問計算第二和第四題，謝謝

[ 本帖最後由 Jacob 於 2013-7-1 05:29 PM 編輯 ]

計算 4. 見 數學傳播 星空燦爛的數學(II)一一 托勒密定理 蔡聰明

50 頁圖. 22 下方有證明

計算 2. 可參考 #8

前半段：三實二虛，和虛根的討論沒什麼問題

後面實根的部分可以修正為：令 k 為 f(x)=0 之一實根，則 kk11−k11−k 皆為 f(x)=0 之實根。

而已知三實根，至多三相異實根，因此四者之中至少兩個相等，解出有限個 k 的可能值，再檢驗之。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-7-1 08:10 PM 編輯 ]

感謝寸絲大的幫忙，終於搞定了。

原所求整理到最後應該是
=1+2(31−41+51−61+)
yuanzhi老師似乎少了一個1

另外，yuanzhi老師在寫兩個函數的函數值時，
少寫了一小部份就是函數f的值為零和1的時候

[ 本帖最後由 poemghost 於 2013-7-12 09:51 PM 編輯 ]

整理一下
有解答:
填1.2.3.4.5.6.7.8.
計2.4.5.6.
未解出
計1.3.

計算 1. 矩陣 A 之特徵多項式為 x2−4x+3=(x−3)(x−1)

令 xn(x−1)2 除以 x2−4x+3 之餘式為 anx+bn，

即有多項式 q(x) 使得 xn(x−1)2=q(x)(x2−4x+3)+anx+bn...(☆)。

將 x=13 分別代入(☆)，可解得  an=−bn=23n

由 Cayley-Hamilton 定理使 A2−4A+3I=O

以 x=A 代入 (☆) 得 An+2−2An+1+An=anA+bnI=83n−43n83n−43n 

請教一下計算5
==實在看不懂解法?

[ 本帖最後由 nanpolend 於 2013-7-25 11:25 PM 編輯 ]

計算3.
設實係數多項式 f(x)=3ax3+2bx2−a2x  (其中 a0) ，若 x= 時 f(x) 有極值，且+=2，求 b 的最大值。

解: 943 

為 f(x)=0 之兩實根，即 ax2+bx−a2=0 之兩實根，故有

b2−4a(−a2)0 ...(1)
+=a−b ...(2)
=−a0 ...(3)

再將 +=2 兩邊平方整理，得到

\displaystyle 4=(|{\alpha}|+|{\beta}|)^2=\alpha^2+\beta^2+2|\alpha\beta|
\displaystyle =\alpha^2+\beta^2-2\alpha\beta   by (3)
\displaystyle =(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta
\displaystyle =\frac{b^2}{a^2}-4(-a)

故 \displaystyle \frac{b^2}{a^2}+4a=4 ，

而得到 b^2=(4-4a)a^2

最後再利用微分或是算幾不等式得出 \displaystyle b 的最大值為 \displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{9} 。

[ 本帖最後由 Joy091 於 2013-7-30 11:23 AM 編輯 ]

感謝

請問(x^2-x+1)(x-2)(x-1/2)^2
這樣重根的答案不行嗎?
三實二虛中，實根不能重根嗎?