目前南一中說計算第5題已經有修正了

也會重新閱卷，放上更新的版本

很抱歉有些題目記錯造成大家麻煩了  囧

102.6.4補充
將數學科的題目和答案分割出來

第4題是3a9b2/4736為一有限小數，求數對（a,b)=?
我算（7，6）不知道大家的答案是?

6.
有一正三角形ABC，令D點為BC邊上一點，則三角形ACD的內切圓半徑為三角形ABD內切圓半徑的兩倍，則請問ABBD=？
[解答]
設正三角形ABC邊長為1，BD=x，DC=1−x
餘弦定理AD=12+x2−1xcos60=x2−x+1 
三角形ACD的內切圓半徑為2r，三角形ABD內切圓半徑為r
21(1+x+AD)r21(1+1−x+AD)2r=ACDABD=x1−x

1+x+x2−x+12(2−x+x2−x+1)=x1−x

平方展開整理後得8x4−7x3−2x2+x=0

x(x−1)(8x2+x−1)=0，x=0116−133 

ABBD=1633−1 

圖形很像的類題https://math.pro/db/viewthread.php?tid=913&page=1#pid1930

102.6.15補充
感謝YAG提醒，第二行分母少個2
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1628&page=4#pid8520

[ 本帖最後由 bugmens 於 2013-6-15 09:33 PM 編輯 ]

填充 2. 眼花看錯，刪。答案是 168

更新過的版本，題目不同，答案見 #17 老王老師

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-10-6 08:04 PM 編輯 ]

第 5 題，有點難...答案是 2ln2−1

主要要用到：假設 knN，滿足 1kn，則有以下：

存在正整數 m，使得 m+21knm+1  若且唯若 k2n−kn=1 。

如此可得到 nm+1knm+21 時，兩個高斯的差是 1，其它時候，則為 0

也是說 111 都是連續 000也是連續...而 11連續的個數大約正比於 12m+1−12m+2

實際上的量是有高斯符號。但有高斯的和比較難算，要先算沒有高斯的，寫下來和交錯的調和級數很像(差2倍和2項)，也就是

n−1m=11m+21−1m+1=2n−1m=112m+1−12m+2=231−41+51−61++12n−1−12n2(ln2−21)=2ln2−1 

嚴謹一點，應該個關於極限交換的定理，或許晚點再想想吧

-------------------補個證明-----------------------

假設 knN，滿足 1kn，則有「存在正整數 m，使得 m+21knm+1 若且唯若 k2n−2kn=1  。」

如此可得到 nm+1knm+21 時，k2n−2kn=1 ，否則即為 0。

故所求 =m=11nnm+21−nm+1=m=11n2n2m+1−2n2m+2=l=3n(−1)l+1l2n 。

注意此級數交錯遞減，故 2x+1l=3n(−1)l+1l2nl=3n(−1)l+1l2n2x+2l=3n(−1)l+1l2n ，對任意 xN。

上式取極限 n\to\infty ，可得 \sum\limits _{l=3}^{2x+1}\frac{(-1)^{l+1}}{l}\geq\limsup\sum\limits _{l=3}^{\infty}\frac{(-1)^{l+1}}{n}\left[\frac{2n}{l}\right]\geq\liminf\sum\limits _{l=3}^{\infty}\frac{(-1)^{l+1}}{n}\left[\frac{2n}{l}\right]\geq\sum\limits _{l=3}^{2x+2}\frac{(-1)^{l+1}}{l} 。

而這個式子對任意 x\in\mathbb{N} 都成立，再取 x\to\infty ，而得 2\ln2-1\geq\ldots\geq2\ln2-1 。

故得 \limsup\sum\limits _{l=3}^{\infty}\frac{(-1)^{l+1}}{n}\left[\frac{2n}{l}\right]=\liminf\sum\limits _{l=3}^{\infty}\frac{(-1)^{l+1}}{n}\left[\frac{2n}{l}\right]=2\ln2-1 ，故其有極限 2\ln2-1 。

終於寫完了，我想我走火入魔了。期待高手出現，用個定理砸爛它，直接把這個證明給砸爛過去，

---2013.06.07 補充---

經 weiye 大師開導，此題應該使用黎曼和轉成積分。

令 f(x)=\begin{cases} [\frac{2}{x}]-2[\frac{1}{x}] & ,\, x\neq0\\ 0 & ,\, x=0 \end{cases} ，則 f(\frac{k}{n})= [\frac{2n}{k}]-2[\frac{n}{k}] , for k,n\in\mathbb{N} ，故所求極限即 \int_{0}^{1}f(x)dx 。

注意 f(x)=1   \Leftrightarrow\exists n\in\mathbb{Z} ，使得 n+\frac{1}{2}\leq\frac{1}{x}<n+1 。

因此 \int_{0}^{1}f(x)dx=\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n+\frac{1}{2}}-\frac{1}{n+1}\right)=2\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}\right)=2\sum\limits _{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-6-7 02:17 PM 編輯 ]

引用:

原帖由 drexler5422 於 2013-6-1 05:50 PM 發表
第4題是3a9b2/4736為一有限小數，求數對（a,b)=?
我算（7，6）不知道大家的答案是?

小弟在考場上沒寫出來

剛剛算到3a9b2要是37倍數

37962=37*1026 OK   (a,b)=(7,6)
30932=37*836   OK   (a,b)=(0,3)

但是...要怎麼算37的倍數阿...

[ 本帖最後由 simon112266 於 2013-6-1 08:15 PM 編輯 ]

37 \times 3=111
111 \times 9=999
所以 999 是 37 的倍數，於是 37 倍數的判別法為三位一節然後相加。

3a9b3=3a+9b2
932 \le 3a+9b2 \le 1031
在此範圍內的 37 的倍數只有 962,999 兩個，故得此兩組答案。

填充2怎麼算阿...
我研究了一個小時了QAQ

計算第2.3請參考
我覺得我第二題不完整= =

2.
若 a+b i 為根則 a-bi , 1-a-bi , 1-a+bi , \displaystyle \frac{a+bi}{a^2+b^2} , \displaystyle \frac{a-bi}{a^2+b^2} 為根
k為根則 1-k , \displaystyle \frac{1}{k} 為根， \displaystyle k,1-k,\frac{1}{k} 只有至多2個相同。
\Rightarrow 3實根2虛根
虛根部份： a=1-a 則 \displaystyle a^2+b^2=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2},b=\frac{\sqrt{3}}{2}
虛根 \displaystyle \frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i \Rightarrow (x^2-x+1)=0
實根部份：若 \displaystyle k=\frac{1}{k},k=1 \Rightarrow 1,0,1 為根 \Rightarrow \frac{1}{0} 為根(不合)
　　　　　若 \displaystyle k=1-k,k=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2},\frac{1}{2},2 為根 \displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2},2,-1 為根
\displaystyle f(x)=(x^2-x+1)(x-\frac{1}{2})(x-2)(x+1)

3.
f(x)=ax^2+bx-a^2=(x-\alpha)(x-\beta)
\displaystyle \Rightarrow \alpha+\beta=\frac{-b}{a} ， \alpha \beta=-a \Rightarrow b=\alpha \beta(\alpha+\beta)=\alpha^2 \beta+\alpha \beta^2
又 a>0 故 \alpha,\beta 異號，設 \beta>0 , \alpha<0
|\ \alpha |\ + |\ \beta |\ =2 \Rightarrow \beta- \alpha =2 ， \alpha=\beta-2 代入b
b=(\beta-2)^2 \beta+(\beta-2) \beta^2=2 \beta^3-6 \beta^2+4 \beta
\displaystyle b=6 \beta^2-12 \beta+4=0 \Rightarrow 3\beta^3-6 \beta+2=0 \Rightarrow \beta=\frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{6}=1\pm \frac{\sqrt{3}}{3}
\displaystyle (\alpha,\beta)=(-1+\frac{\sqrt{3}}{3},1+\frac{\sqrt{3}}{3}) or (-1-\frac{\sqrt{3}}{3},1-\frac{\sqrt{3}}{3}) 代回b
得b最大值 \displaystyle \frac{4}{9}\sqrt{3} 　最小值 \displaystyle -\frac{4}{9}\sqrt{3}

填充 2. 個人做法不好，就當獻醜，還有待其它高手解題。
(更新過的版本，題目不同，答案見 #17 老王老師)

畫圖觀察，猜測 P 在 \overline{AB} 的中垂線上，如果猜測正確，則有 \angle PAB = \angle PBA =6^\circ ，因此所求 \angle APB = 168^\circ 。

102TainanFirt2.png (21.1 KB)

2013-6-3 10:08

接下來我們來證明猜測，設 \overline{AB} = 1，我們僅須證明 \overline{PB}\cos 6^\circ =\frac12。

而 \triangle PBC 中，由正弦定理有 \overline{PB} = \frac{\sin 24^\circ}{\sin 54^\circ} 。
( \angle PBC = 108^\circ - 6^\circ =102^\circ \Rightarrow \angle BPC = (180-102-24)^\circ =54^\circ )

因此 \overline{PB}\cos6^\circ = \frac{\sin24^\circ \cos 6^\circ}{\sin 54^\circ} 。

令 x = \sin 18^\circ ，由積化和差及三倍角公式可得 \overline{PB}\cos6^\circ = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac12+x}{3x-4x^3} 。

實際上， x = \frac{\sqrt{5}-1}{4} 或者用 4x^2+2x^2-1 = 0 化簡及可得 \overline{PB}\cos6^\circ = \frac12。

因此 P 在 \overline{AB} 的中垂線上，而有   \angle PAB = \angle PBA =6^\circ \Rightarrow \angle APB = 168^\circ 。

[ 本帖最後由 tsusy 於 2013-10-6 08:05 PM 編輯 ]

感謝寸絲老師

原來要猜測...這就不好猜了XD

另外 PBcos6=sin24cos6/sin54

應該是您打錯了