1.(2)
若點D、E、F依序為△ABC三邊\( \overline{BC} \)、\( \overline{AC} \)、\( \overline{AB} \)三邊的垂足，求證：△ABC的垂心等於△DEF的內心
(97松山家商，
http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=49554#9)
2.
ABCD為圓內接四邊形，四邊邊長依序為a、b、c、d，請證明ABCD的面積為
\( \displaystyle S(a,b,c,d)=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)} \)
(蔡聰明，四邊形的面積，數學傳播，
https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=2#pid2434)
一圓柱體高20、底面圓半徑6，若有一平面通過底面圓心且和底面夾角\( 60^\circ \)，試求較小部分的體積為？
(101中和高中，
https://math.pro/db/thread-1378-1-4.html)
空間中，\( x^2+y^2=3^2 \)，\( z=0 \)及\( x-z=0 \)所圍成封閉區域的體積為何？
(101彰化高中，thepiano解題
http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 53&t=2816#p7604)
你可以先看這題thepiano的解法，再來看以下的說明會更容易了解。
103.5.31補充
已知一圓柱體的半徑為6，有一平面E與圓柱夾\( 30^{\circ} \)且通過圓柱直徑，試求平面E與圓柱所截兩塊體積中較小的體積
(103武陵高中，
https://math.pro/db/thread-1902-1-1.html)
7.
有一半徑為\( 2 \sqrt{2} \)，高為\( 2\sqrt{3} \)的圓柱體被一平面所截。已知平面截過圓柱體底面的圓心且與底面夾\( 60^\circ \)角，試求：此圓柱體被平面所截之較小部份的體積。
[解答]
| 1.當\( \overline{AB}=2 \sqrt{3} \)時，\( \Delta ABC \)為最大的直角三角形，之後就是梯形了。
\( \Delta ABC \)為直角三角形，\( ∠ACB=60^\circ \)，\( \overline{AB}=2 \sqrt{3} \)，得到\( \overline{BC}=2 \)
又\( \overline{OB}=2 \sqrt{2} \)，\( ∠OCB=90^\circ \)，得到\( \overline{OC}=2 \)。
所以當\( 2 \le x \le 2 \sqrt{2} \)，\( -2 \sqrt{2} \le x \le -2 \)時，截面形狀為直角三角形。
當\( -2 \le x \le +2 \)時，截面形狀為梯形。
|
| 2.當\( 2\le x \le 2 \sqrt{2} \)，\( -2 \sqrt{2} \le x \le -2 \)時
截面形狀為直角三角形ABC
\( \overline{OB}=2 \sqrt{2} \)，\( \overline{OC}=x \)得到\( \overline{BC}=\sqrt{8-x^2} \)
又\( \Delta ABC \)為直角三角形，\( ∠ACB=60^\circ \)，得到\( \overline{AB}=\sqrt{3}\sqrt{8-x^2} \)
\( \Delta ABC \)的面積\( \displaystyle =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{8-x^2} \cdot \sqrt{3} \sqrt{8-x^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}(8-x^2) \)
體積\( \displaystyle =2 \int_2^{2 \sqrt{2}} \frac{\sqrt{3}}{2}(8-x^2)dx=\frac{32}{3}\sqrt{6}-\frac{40}{3}\sqrt{3} \) |
| 3.當\( -2 \le x \le +2 \)時，截面形狀為梯形ABCD
\( \overline{OB}=2 \sqrt{2} \)，\( \overline{OC}=x \)得到\( \overline{BC}=\sqrt{8-x^2} \)
又\( \overline{AB}=2 \sqrt{3} \)，\( ∠DCB=60^\circ \)，得到\( \overline{BC}=2+\overline{AD} \)，\( \overline{AD}=\sqrt{8-x^2}-2 \)。
梯形面積\( \displaystyle =\frac{\overline{AB}}{2}(\overline{AD}+\overline{BC})=2 \sqrt{3}(\sqrt{8-x^2}-1) \)
體積\( \displaystyle =2 \int_0^2 2 \sqrt{3}(\sqrt{8-x^2}-1)dx=4 \sqrt{3} \pi \)
|
\( \displaystyle \int_0^2 (\sqrt{8-x^2}-1) dx \)可以轉換成橘色區域面積
面積=扇形OAB+直角三角形OAC-長方形=\( \pi \)
總共的體積為\( \displaystyle \frac{32}{3}\sqrt{6}-\frac{40}{3}\sqrt{3}+4 \sqrt{3} \pi \)
[
本帖最後由 bugmens 於 2014-5-31 04:51 AM 編輯 ]
