第9題
\(\displaystyle a_1=1+1+2+1+2=7 \)
\(\displaystyle na_n=C_3^{n+2}+n^3+2n^2+n+2-C_3^{n+1}-(n-1)^3-2(n-1)^2-(n-1)-2 \)
\(\displaystyle =C_2^{n+1}+(3n^2-3n+1)+2(2n-1)+1 \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}(7n^2+3n) \)
所以 \(\displaystyle a_n=\frac{1}{2}(7n+3) \)
所求為
\(\displaystyle 7+\sum_{k=2}^{10}\frac{1}{2}(7k+3) \)
\(\displaystyle =7+\frac{1}{2}(\frac{7}{2} \cdot 10 \cdot 11+30-10)=\frac{419}{2} \)

瑋岳老師回得比較詳細

嗯謝謝大家！

想再請教16。謝謝。

感謝解題的高手。

不好意思，小弟想請教填充12與14題。

謝謝

填充16，用導函數的定義去做就可以囉。
\( \displaystyle f'(0)=\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x \to 0}\frac{\displaystyle \frac{x(x-2)(x-4)\ldots (x-100)}{(x+1)(x+2)\ldots (x+50)}}{x}=\frac{(-2)(-4)\ldots (-100)}{1 \times 2 \times \ldots \times 50}=2^{50} \)

填充第 2 題：

先看一般項 \(\displaystyle \sum_{k=1}^m k(k+1) = \frac{1}{3}\sum_{k=1}^m \Bigg(k(k+1)(k+2) - (k-1)k(k+1)\Bigg) = \frac{1}{3}m(m+1)(m+2)\)

所求＝\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3}k(k+1)(k+2)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}\sum_{k=1}^{n-1} \Bigg(k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)\Bigg) = \frac{1}{12}(n-1)n(n+1)(n+2)\)

第14題
將A點以x軸為轉軸旋轉至xy平面上，得到A'(6,-5,0)

將B點以y軸為轉軸旋轉至xy平面上，得到B'(-5,8,0)

所求即為 \( A'B'=\sqrt{11^2+13^2}=\sqrt{290} \)

第12題
三數相加後減25為此數的倍數
\( 63+91+129-25=258 \)
\( 258=2 \times 3 \times 43 \)
檢查一下知此數為43

第 12 題：

設題目所求之數為 \(a\)，且三次除法的商數與餘數分別為 \(q_1,q_2,q_3\) 與 \(r_1, r_2, r_3\)，則

\(63 = a\cdot q_1 + r_1\)
\(91 = a\cdot q_2 + r_2\)
\(129 = a\cdot q_3 +r_3\)

\(\Rightarrow 283 = a(q_1+q_2+q_3) + 25\)

\(\Rightarrow a(q_1+q_2+q_3) = 258\)

\(\Rightarrow a \Bigg| 258\)

且因為 \(258=2\cdot3\cdot43\) 以及 \(a\leq 63\)（否則餘數 \(r_1\) 就會是 \(63\)，超過 \(25\) 了）

且由 \(25=r_1+r_2+r_3<3a\Rightarrow a>8\)，可得 \(a=43\)