第 3 題：

\(k\vec{OA}+\vec{OB}+2\vec{OC}=\vec{0}\)

\(\Rightarrow k\vec{OA}=-\left(\vec{OB}+2\vec{OC}\right)\)

\(\Rightarrow k^2\left|\vec{OA}\right|^2=\left|\vec{OB}+2\vec{OC}\right|^2\)

\(k^2\cdot 1^2 = 1^2+2\cdot1\cdot2\cdot\cos120^\circ+4\cdot1^2\)

\(k=\pm\sqrt{3}.\)




感謝 寸絲 老師提醒，

答案只有 \(k=\sqrt{13}\)（也就是負不合）。

若 \(k\) 為負，則 \(O\) 在 \(\triangle ABC\) 外部

且 \(O\) 與 \(A\) 在 \(\overline{BC}\) 異側，得 \(\angle A\) 為鈍角，不合。

---------------------------------以下是寸絲老師的說明：

weiye 老師

本題 k  應只有唯一解 (正的)

理由如下：取 D 在 BC  上，且 DC/DB=1/2

則 OB + 2OC =3OD (向量)

而 k OA + 3OD = 0 (向量)

因此 OAD 共線，A 在 圓 O 和直線 OD 的交點上

圖形如

101nehui.png (27.61 KB)

2013-2-10 15:12

該直徑上有兩端點，但一者圓周角 120 度 另一者 圓周角 60 度

故僅有一解

可以請教填充5怎麼解嗎?謝謝~

5.
已知平面上的點排列\(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\ldots,P_n(x_n,y_n)\)，其中各點座標定義如下：
\(x_1=1,y_1=0\)且\( \displaystyle x_{n+1}=\frac{3}{5}x_n+\frac{2}{5}y_n \)，\(\displaystyle y_{n+1}=\frac{2}{5}x_n+\frac{3}{5}y_n\)，
試求：
(1)能使\(x_n+\alpha y_n=\beta(x_{n-1}+\alpha y_{n-1})\)成立的正實數\(\alpha\)，\(\beta\)值，則\((\alpha,\beta)=\)　　　
(2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n=(a,b) \)，則\((a,b)=\)　　　

第 5 題：

(1) \(x_n, y_n\) 帶入乘開，比較係數，可得 \(\frac{3}{5}+\frac{2}{5}\cdot\alpha=\beta, \frac{2}{5}+\frac{3}{5}\cdot\alpha=\alpha\cdot\beta\)

　兩式相除，可解得 \((\alpha, \beta)=(1,1)\) 或 \((-1,\frac{1}{5})\)

(2) 解 \(a=\frac{3}{5}\cdot a+\frac{2}{5}\cdot b, b=\frac{2}{5}\cdot a+\frac{3}{5}\cdot b\) 且 \(a+b=1\)

　可得 \((a,b)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)

沒有找到這份試題的解答，想要對答案

日後有時間完成這份試題的老師們再來幫忙修正一下囉！

#1. 20                                                              #7. 15

#2. \(5\sqrt{3}\)                                                          #8. \(\frac{1}{4}\)

#3. \(\sqrt{3}\)                                                            #9. 期望值90, 標準差3

#4. (1) \(-\frac{1}{2}\leq k \leq 3\)；(2) \(\big(\frac{8}{5},\frac{21}{5}\big)\)                    #10. 體積\(4\pi^{2}\), 表面積\(8\pi^{2}\)

#5. (1) \((1,1), \big(-1,\frac{1}{5}\big)\)；(2) \(\big(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\big)\)                 #11. (1) 不存在；(2) \(2\pi\)

#6. \((1,\sqrt{6},\sqrt{2})\)                                                 #12. \(p'(1)=1\), \(q'(4)=-\frac{1}{3}\)

計算證明 #1. (2) 都不存在；(3) 就是畫 \(y=\ln{x}\)

計算證明 #2. (1) 收斂：無窮等比級數，公比\(\displaystyle\frac{\pi}{6}\in(-1,1)\)
                     (2) 發散：作圖，積分審斂，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n+1}>\int_{1}^{\infty}\frac{1}{3x+1}dx\)，又\(\displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{3x+1}dx\)發散
                     (3) 發散：當\(n>10\), \(\displaystyle\frac{(n+1)!}{10^{n+1}}>k\frac{n!}{10^n}\), 其中\(k>1\)

[ 本帖最後由 Pacers31 於 2013-12-28 11:35 AM 編輯 ]

翻了一下電腦裡的檔案，發現我有這份的解答。
從哪來的已經忘了，應該是當年留下來的官方版本(?)吧!!!

謝謝您的提供！

仔細看了一下第5題題目，原來有要求\(\alpha, \beta\)為正

請問weiye 老師
\(a+b=1\)是因為\(x_1=1\),\(y_1=0\)的緣故嗎 ?
謝謝
另外 小弟愚昧 想請教填充10 看了Pappus 還是不知如何下筆 可否指導
填充11的第一小題 不存在是因為-1積到1 含0 所以\(x^{-2}\)為不存在嗎 ?
先謝謝weiye老師

代答一下
5. 從\( x,y \)的係數可知，寫成矩陣，是個轉移矩陣，轉移矩陣何持總和不變

11. 碰到函數在積分區域有瑕點時，這種積分是被當作瑕積分。所以說本題的積分記號意思是

\( \displaystyle \int_{-2}^{2}\frac{1}{x^{2}}dx=\lim\limits _{a\to0^{+},b\to0^{-}}\left(\int_{-2}^{b}\frac{1}{x^{2}}dx+\int_{a}^{2}\frac{1}{x^{2}}dx\right) \)

想請教一下第8題

題目沒有說同球或不同球

如果同球的話 那1空箱的機率就是\( \displaystyle \frac{2}{4} \)      樣本空間為{(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)}

如果不同球的話 那1空箱的機率就是\( \displaystyle \frac{2}{8} \)  樣本空間的元素個數為2*2*2

如果題目沒說同球或不同球 那是不是兩個答案都可以呢

請問我這樣的理解哪裡有錯誤

感謝!

題目是求空箱個數的期望值，不是求 1 個空箱的機率