如題

請問老師，填充題第6題應該如何處理呢??
可以請老師指點一下嗎?謝謝您。

[ 本帖最後由 bluewing 於 2012-7-10 04:42 PM 編輯 ]

6.
設\(a,b,c\)為正數，\(f\)為由矩陣\( \left[ \matrix{a&-b \cr \sqrt{3}a&c} \right] \)表示的線性變換(Linear transformation)，當橢圓\(4x^2+8y^2=1\)經\(f\)變換後之圖形是以原點為圓心，1為半徑的圓，則\((a,b,c)=\)　　　
[解答]
\( \left[ \matrix{x' \cr y'} \right]=\left[ \matrix{a & -b \cr \sqrt{3}a & c} \right] \left[ \matrix{x \cr y} \right]=\left[ \matrix{ax-by \cr \sqrt{3}ax+cy} \right] \)
將\( \cases{x'=ax-by \cr y'=\sqrt{3}ax+cy} \)代入\( (x')^2+(y')^2=1 \)得\( a^2x^2-2axby+b^2y^2+3a^2x^2+2\sqrt{3}axcy+c^2y^2=1 \)
和原式比較可得\( \cases{a^2+3a^2=4 \cr \sqrt{3}c-b=0 \cr b^2+c^2=8} \)，因此\( (a,b,c)=(1,\sqrt{6},\sqrt{2}) \)

印象中有更佳的解法，目前小弟只想到這種，有錯請指正

先把橢圓拉長變成圓，再旋轉角度。 \( f:\, (x,y)\mapsto(x',y') \)

\( \begin{bmatrix}x'\\
y'
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2 & 0\\
0 & 2\sqrt{2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\
y
\end{bmatrix} \)

\( M_{f}=\begin{bmatrix}2\cos\theta & -2\sqrt{2}\sin\theta\\
2\sin\theta & 2\sqrt{2}\cos\theta
\end{bmatrix}\Rightarrow\tan\theta=\sqrt{3}
,\cos\theta=\frac{1}{2}
, \sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \)

所以 \( (a,b,c)=(1,\sqrt{6},\sqrt{2}) \)

想請教填充第10題的表面積,謝謝

10.
設\(\Gamma\)為以圓\((x-2)^2+y^2=1\)繞\(y\)軸旋轉的立體(torus)，則\(\Gamma\)的體積為　　　，\(\Gamma\)的表面積為　　　
[解答]
請愛用 Pappus 定理

號稱甜甜圈專用定理

學科中心電子報 58 期 http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/ePaper/Default.aspx?id=58

謝謝老師的講解，另外，可以請問填充第9題的"標準差"應該如何處理呢??
答案是給3，可是始終算不出是3??謝謝老師。

9.
某水果種子的發芽率是90%，設每顆種子發芽成功與否彼此互不影響，農民同時種下了100顆種子，則發芽成功的顆數期望值為　　　顆，標準差　　　顆。
[解答]
剛查一下這一題
用\( B(n=100,p=0.9) \)
\(E=np \)
\( Var=npq \)
\(Var=9\)
\(SD=\sqrt{Var}=3 \)

不好意思想問這份試卷有公布解答嗎?謝謝

可以請教填充3怎麼解嗎?謝謝~

3.
設\(\Delta ABC\)內接於半徑為1的單位圓，\(O\)為圓心且\(∠A=60^{\circ}\)，若\(k\vec{OA}+\vec{OB}+2 \vec{OC}=\vec{0}\)，則實數\(k=\)